Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+6經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-3，0）和點(diǎn)B（2，0）．直線y=h（h為常數(shù)，且0＜h＜6）與BC交于點(diǎn)D，與y軸交于點(diǎn)E，與AC交于點(diǎn)F，與拋物線在第二象限交于點(diǎn)G．

（1）求拋物線的解析式；

（2）連接BE，求h為何值時(shí)，△BDE的面積最大；

（3）已知一定點(diǎn)M（-2，0）．問(wèn)：是否存在這樣的直線y=h，使△OMF是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出h的值和點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1） y=-x2-x+6．（2） 當(dāng)h=3時(shí)，△BDE的面積最大，最大面積是．（3） 存在這樣的直線y=2或y=4，使△OMF是等腰三角形，當(dāng)h=4時(shí)，點(diǎn)G的坐標(biāo)為（-2，4）；當(dāng)h=2時(shí)，點(diǎn)G的坐標(biāo)為（，2）．

【解析】

試題分析：（1）由拋物線y=ax2+bx+6經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-3，0）和點(diǎn)B（2，0），利用待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式；

（2）首先利用待定系數(shù)法求得經(jīng)過(guò)點(diǎn)B和點(diǎn)C的直線的解析式，由題意可得點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，h），則可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，h），則可得S△BDE=•OE•DE=•h•

=-（h-3）2+，然后由二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得△BDE的面積最大；

（3）分別從①若OF=OM，則、②若OF=MF，則與③若MF=OM，則去分析求解即可求得答案．

試題解析：（1）∵拋物線y=ax2+bx+6經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-3，0）和點(diǎn)B（2，0），

∴．

解得：．

∴拋物線的解析式為y=-x2-x+6．

（2）∵把x=0代入y=-x2-x+6，得y=6．

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，6）．

設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B和點(diǎn)C的直線的解析式為y=mx+n，則

，

解得．

∴經(jīng)過(guò)點(diǎn)B和點(diǎn)C的直線的解析式為：y=-3x+6．

∵點(diǎn)E在直線y=h上，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，h）．

∴OE=h．

∵點(diǎn)D在直線y=h上，

∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為h．

把y=h代入y=-3x+6，得h=-3x+6．

解得x=．

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，h）．

∴DE=．

∴S△BDE=•OE•DE=•h•

=-（h-3）2+．

∵-＜0且0＜h＜6，

∴當(dāng)h=3時(shí)，△BDE的面積最大，最大面積是．

（3）存在符合題意的直線y=h．

設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)C的直線的解析式為y=kx+p，則

，

解得

．

故經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)C的直線的解析式為y=2x+6．

把y=h代入y=2x+6，得h=2x+6．

解得x=．

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（，h）．

在△OFM中，OM=2，OF=，MF=．

①若OF=OM，則，

整理，得5h2-12h+20=0．

∵△=（-12）2-4×5×20=-256＜0，

∴此方程無(wú)解．

∴OF=OM不成立．

②若OF=MF，則，

解得h=4．

把y=h=4代入y=-x2-x+6，得-x2-x+6=4，

解得x1=-2，x2=1．

∵點(diǎn)G在第二象限，

∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為（-2，4）．

③若MF=OM，則，

解得h1=2，h2=-（不合題意，舍去）．

把y=h1=2代入y=-x2-x+6，得-x2-x+6=2．

解得x1=，x2=．

∵點(diǎn)G在第二象限，

∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為（，2）．

綜上所述，存在這樣的直線y=2或y=4，使△OMF是等腰三角形，當(dāng)h=4時(shí)，點(diǎn)G的坐標(biāo)為（-2，4）；當(dāng)h=2時(shí)，點(diǎn)G的坐標(biāo)為（，2）．

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．