Question

如圖，已知點(diǎn)O是銳角三角形ABC的外心，過(guò)A、B、O三點(diǎn)的圓交AC、BC于E、F，且EF=OC，
（1）求證：OC⊥EF；
（2）求：∠AOB的度數(shù)．

Answer 1

分析：（1）連接OA，OB，AF，BE，由點(diǎn)O是銳角三角形ABC的外心，又EF=OC，可得OA=OB=EF，即得到它們所對(duì)的弧相等，可推出

AE

=

OF

，

EO

=

BF

，所以有∠1=∠3=∠7=∠5，∠2=∠8=∠4=∠6，可證出∠1+∠2=45°．要證OC⊥EF，即證∠1+∠CEF=90°，而∠CEF=∠ABC=∠6+∠7+∠8=∠1+2∠2，因此可得到∠1+∠CEF=2（∠1+∠2）=90°．
（2）利用同弧所對(duì)圓心角是它所對(duì)的圓周角的2倍即由∠AOB=2∠ACB直接得到．

解答：（1）證明：如圖，連接OA，OB，AF，BE，
∵點(diǎn)O是銳角三角形ABC的外心，
∴OA=OB=OC，又EF=OC，
∴OA=OB=EF，
∴

AEO

=

EOF

=

BFO

，
∴

AE

=

OF

，

EO

=

BF

∴∠1=∠3=∠7=∠5，∠2=∠8=∠4=∠6
而∠ACB+∠BAC+∠CBA=∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8=4（∠1+∠2）=180°
所以∠1+∠2=45°．
又∠CEF=∠ABC=∠6+∠7+∠8=∠1+2∠2
即∠1+∠CEF=2（∠1+∠2）=90°，
所以O(shè)C⊥EF；

（2）解：∠AOB=2（∠1+∠2）=2×45°=90°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理．同弧所對(duì)的圓周角相等，并且等于它所對(duì)的圓心角的一半．同時(shí)考查了三角形的外心到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等．