Question

如圖，直徑為5的⊙M圓心在x軸正半軸上，⊙M和x軸交于A、B兩點(diǎn)，和y軸交于C、D兩點(diǎn)且CD=4，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)，頂點(diǎn)為N﹒
（1）求經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線解析式；
（2）直線NC與x軸交于點(diǎn)E，試判斷直線CN與⊙M的位置關(guān)系并說(shuō)明理由；
（3）設(shè)點(diǎn)Q是（1）中所求拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，試問(wèn)在（1）中所求拋物線上是否存在點(diǎn)P使以點(diǎn)A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由﹒

Answer 1

分析：（1）若要求經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線解析式，則可求出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)即可；
（2）連接MC，再證明CM⊥EN即可；
（3）存在，根據(jù)AB為平行四邊形的邊，對(duì)角線兩種情況，分別P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）連接DM，∵⊙M的直徑5，
∴DM=

5

2

，
∵CD=4，
∴OD=0C=2，
∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-2），
∴OM=

5 2  2-2 2

=

3

2

，
∴OA=

5

2

-

3

2

=1，
∴OB=5-OA=4，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0）
由A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)拋物線y=a（x+1）（x-4），將C（0，-2）代入，得a=

1

2

，
∴y=

1

2

（x+1）（x-4），
∴經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線解析式為y=

1

2

x²-

3

2

x-2；

（2）直線CN與⊙M相切；
連接CM，設(shè)過(guò)CN直線的解析式為y=kx+b，
設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為N，則N點(diǎn)的坐標(biāo)為（

3

2

，-

25

8

），
∴CN直線的解析式為y=-

3

4

x-2，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-

8

3

，0），
∴CE=

OC 2+OE 2

=

10

3

，
∴EM=OE+OM=

25

6

，
∵CM²=

25

4

，CE²=

100

9

，EM²=

625

36

，
∴CM²+CE²=EM²，
∴△ECM是直角三角形，即MC⊥EC，
∴直線CN與⊙M相切；

（3）存在符合條件的點(diǎn)P，
當(dāng)AB為平行四邊形的一邊時(shí)，PQ∥AB，PQ=AB=5，P點(diǎn)橫坐標(biāo)為

3

2

+5=

13

2

或

3

2

-5=-

7

2

，
分別代入拋物線解析式，得y=

39

8

，
當(dāng)AB為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，P為拋物線頂點(diǎn)，
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)是（

3

2

，-

25

8

），（-

7

2

，

75

8

），（

13

2

，

75

8

）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的對(duì)稱性，以及平行四邊和圓的切線的有關(guān)知識(shí)的運(yùn)用，是一道綜合性很強(qiáng)的題目，難度較大．