Question

如圖，已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M（1，4），與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（0，3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求tan∠ACO與sin∠BCO的乘積；
（3）在線段BC邊上是否存在點(diǎn)P，使得以B、O、P為頂點(diǎn)的三角形與△BAC相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
（4）在對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使|PC-PB|的值最大，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)頂點(diǎn)式可求函數(shù)解析式；
（2）先解方程-x²+2x+3=0，易求A、B點(diǎn)的坐標(biāo)，從而易得OA=1，OC=3，OB=3，在Rt△BOC中，利用勾股定理可求BC，進(jìn)而可求tan∠ACO•sin∠BCO；
（3）分兩種情況討論：①當(dāng)△BPO∽△BAC時(shí)，有BP：OB=BA：CB，易求BP，再過P作PG⊥x軸，交x軸于點(diǎn)G，由于PG∥OC，那么△BPG∽△BCO，利用比例線段可求PG，再利用勾股定理易求BG，從而可求OG，最后可得P點(diǎn)坐標(biāo)；
②當(dāng)△BPO∽△BCA時(shí)，同理可求P(

3

4

，

9

4

)；
（4）存在，先利用對(duì)稱性可求C點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)N，過BN作直線，交對(duì)稱軸于P，先求過B、N的直線，再把x=1代入函數(shù)解析式即可求y，從而可得P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：根據(jù)題意可得
（1）y=-（x-1）²+4=-x²+2x+3；

（2）解方程-x²+2x+3=0得
x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0），B（3，0），C（0，3），
∴OA=1，OC=3，OB=3，
∴BC=3

2

，
∴tan∠ACO•sin∠BCO=

1

3

×

3

3 2

=

2

6

；

（3）①當(dāng)△BPO∽△BAC時(shí)，有
BP：OB=BA：CB，
∴BP=2

2

，
過點(diǎn)P作PG⊥x軸，交x軸于點(diǎn)G，
∵PG∥OC，
∴△BPG∽△BCO，
∴PG：OC=BP：BC，
∴PG=2，
在Rt△BPG中，BG=2，∴OG=1，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)是（1，2），
②當(dāng)△BPO∽△BCA時(shí)，同理可求P(

3

4

，

9

4

)；

（4）存在，理由是：
利用對(duì)稱性原理：求出C點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)N（2，3），
過B、N作直線，交對(duì)稱軸于點(diǎn)P，
設(shè)直線BN的方程是y=ax+b，那么

3a+b=0 2a+b=3

，
解得y=-3x+9，
當(dāng)x=1時(shí)，y=6，
故P點(diǎn)坐標(biāo)是（1，6）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)、相似三角形的判定和性質(zhì)、平行線分線段成比例定理的推論、勾股定理、三角函數(shù)的計(jì)算、解方程組．解題的關(guān)鍵是要注意結(jié)合題意畫圖，并且知道二次函數(shù)具有對(duì)稱性．