Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，我把由兩條射線AE，BF和以AB為直徑的半圓所組成的圖形叫作圖形C（注：不含AB線段）．已知A（-1，0），B（1，0），AE∥BF，且半圓與y軸的交點(diǎn)D在射線AE的反向延長線上．
（1）求兩條射線AE，BF所在直線的距離；
（2）當(dāng)一次函數(shù)y=x+b的圖象與圖形C恰好只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，寫出b的取值范圍；
當(dāng)一次函數(shù)y=x+b的圖象與圖形C恰好只有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，寫出b的取值范圍；
（3）已知?AMPQ（四個(gè)頂點(diǎn)A，M，P，Q按順時(shí)針方向排列）的各頂點(diǎn)都在圖形C上，且不都在兩條射線上，求點(diǎn)M的橫坐標(biāo)x的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用直徑所對的圓周角是直角，從而判定三角形ADB為等腰直角三角形，其直角邊的長等于兩直線間的距離；
（2）利用數(shù)形結(jié)合的方法得到當(dāng)直線與圖形C有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)自變量x的取值范圍即可；
（3）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及其四個(gè)頂點(diǎn)均在圖形C上，可能會出現(xiàn)四種情況，分類討論即可．
解答：解：（1）如圖1，分別連接AD、DB，則點(diǎn)D在直線AE上，
∵點(diǎn)D在以AB為直徑的半圓上，
∴∠ADB=90°，
∴BD⊥AD，
在Rt△DOB中，由勾股定理得，BD=，
∵AE∥BF，
∴兩條射線AE、BF所在直線的距離為．

（2）當(dāng)一次函數(shù)y=x+b的圖象與圖形C恰好只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，b的取值范圍是b=或-1＜b≤1；
當(dāng)一次函數(shù)y=x+b的圖象與圖形C恰好只有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，b的取值范圍是1＜b＜

（3）假設(shè)存在滿足題意的平行四邊形AMPQ，根據(jù)點(diǎn)M的位置，分以下四種情況討論：
①當(dāng)點(diǎn)M在射線AE上時(shí)，如圖2
∵AMPQ四點(diǎn)按順時(shí)針方向排列，
∴直線PQ必在直線AM的上方，
∴PQ兩點(diǎn)都在弧AD上，且不與點(diǎn)A、D重合，
∴0＜PQ＜．
∵AM∥PQ且AM=PQ，
∴0＜AM＜
∴-2＜x＜-1，

②當(dāng)點(diǎn)M在弧AD上時(shí)，如圖3
∵點(diǎn)A、M、P、Q四點(diǎn)按順時(shí)針方向排列，
∴直線PQ必在直線AM的下方，
此時(shí)，不存在滿足題意的平行四邊形．
③當(dāng)點(diǎn)M在弧BD上時(shí)，
設(shè)弧DB的中點(diǎn)為R，則OR∥BF，

當(dāng)點(diǎn)M在弧DB上時(shí)，如圖4，
過點(diǎn)M作OR的垂線交弧DB于點(diǎn)Q，垂足為點(diǎn)S，可得S是MQ的中點(diǎn)．
∴四邊形AMPQ為滿足題意的平行四邊形，
∴0≤x＜．

當(dāng)點(diǎn)M在弧RB上時(shí)，如圖5，
直線PQ必在直線AM的下方，
此時(shí)不存在滿足題意的平行四邊形．

④當(dāng)點(diǎn)M在射線BF上時(shí)，如圖6，
直線PQ必在直線AM的下方，
此時(shí)，不存在滿足題意的平行四邊形．

綜上，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)x的取值范圍是-2＜x＜-1或0≤x＜．
點(diǎn)評：本題是一道一次函數(shù)的綜合題，題目中還涉及到了勾股定理、平行四邊形的性質(zhì)及圓周角定理的相關(guān)知識，題目中還滲透了分類討論思想．