Question

（2011•攀枝花）如圖，已知二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象的對稱軸為直線x=1，且與x軸有兩個不同的交點，其中一個交點坐標為（﹣1，0）．
（1）求二次函數(shù)的關(guān)系式；
（2）在拋物線上有一點A，其橫坐標為﹣2，直線l過點A并繞著點A旋轉(zhuǎn)，與拋物線的另一個交點是點B，點B的橫坐標滿足﹣2＜x_B＜，當△AOB的面積最大時，求出此時直線l的關(guān)系式；
（3）拋物線上是否存在點C使△AOC的面積與（2）中△AOB的最大面積相等．若存在，求出點C的橫坐標；若不存在說明理由．

Answer 1

解：（1）二次函數(shù)y=x²+bx+c圖象的對稱軸是直線x=1，且過點A（﹣1，0），
代入得：﹣=1，1﹣b+c=0，
解得：b=﹣2，c=﹣3，
所以二次函數(shù)的關(guān)系式為：y=x²﹣2x﹣3；
（2）拋物線與y軸交點B的坐標為（0，），
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+m，
∴，
∴，
∴直線AB的解析式為y=x﹣．
∵P為線段AB上的一個動點，
∴P點坐標為（x，x﹣）．（0＜x＜3）
由題意可知PE∥y軸，∴E點坐標為（x，x²﹣x﹣），
∵0＜x＜3，
∴PE=（x﹣）﹣（x²﹣x﹣）=﹣x²+x，
（3）由題意可知D點橫坐標為x=1，又D點在直線AB上，
∴D點坐標（1，﹣1）．

①當∠EDP=90°時，△AOB∽△EDP，
∴．
過點D作DQ⊥PE于Q，
∴x_Q=x_P=x，y_Q=﹣1，
∴△DQP∽△AOB∽△EDP，
∴，
又OA=3，OB=，AB=，
又DQ=x﹣1，
∴DP=（x﹣1），
∴，
解得：x=﹣1±（負值舍去）．
∴P（﹣1，）（如圖中的P₁點）；
②當∠DEP=90°時，△AOB∽△DEP，
∴．
由（2）PE=﹣x²+x，DE=x﹣1，
∴，
解得：x=1±，（負值舍去）．
∴P（1+，﹣1）（如圖中的P₂點）；
綜上所述，P點坐標為（﹣1，）或（1+，﹣1）．

解析