(2006•臨安市)如圖,△OAB是邊長為2+的等邊三角形,其中O是坐標原點,頂點B在y軸正方向上,將△OAB折疊,使點A落在邊OB上,記為A′,折痕為EF.
(1)當A′E∥x軸時,求點A′和E的坐標;
(2)當A′E∥x軸,且拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過點A′和E時,求拋物線與x軸的交點的坐標;
(3)當點A′在OB上運動,但不與點O、B重合時,能否使△A′EF成為直角三角形?若能,請求出此時點A′的坐標;若不能,請你說明理由.

【答案】分析:(1)當A′E∥x軸時,△A′EO是直角三角形,可根據(jù)∠A′OE的度數(shù)用O′A表示出OE和A′E,由于A′E=AE,且A′E+OE=OA=2+,由此可求出OA′的長,也就能求出A′E的長.據(jù)此可求出A′和E的坐標;
(2)將A′,E點的坐標代入拋物線中,即可求出其解析式.進而可求出拋物線與x軸的交點坐標;
(3)根據(jù)折疊的性質(zhì)可知:∠FA′E=∠A,因此∠FA′E不可能為直角,因此要使△A′EF成為直角三角形只有兩種可能:
①∠A′EF=90°,根據(jù)折疊的性質(zhì),∠A′EF=∠AEF=90°,此時A′與O重合,與題意不符,因此此種情況不成立.
②∠A′FE=90°,同①,可得出此種情況也不成立.
因此A′不與O、B重合的情況下,△A′EF不可能成為直角三角形.
解答:解:(1)由已知可得∠A′OE=60°,A′E=AE,
由A′E∥x軸,得△OA′E是直角三角形,
設(shè)A′的坐標為(0,b),
AE=A′E=b,OE=2b,b+2b=2+
所以b=1,A′、E的坐標分別是(0,1)與(,1).

(2)因為A′、E在拋物線上,
所以,
所以
函數(shù)關(guān)系式為y=-x2+x+1,
由-x2+x+1=0,
得x1=-,x2=2
與x軸的兩個交點坐標分別是(,0)與(,0).

(3)不可能使△A′EF成為直角三角形.
∵∠FA′E=∠FAE=60°,
若△A′EF成為直角三角形,只能是∠A′EF=90°或∠A′FE=90°
若∠A′EF=90°,利用對稱性,則∠AEF=90°,
A、E、A三點共線,O與A重合,與已知矛盾;
同理若∠A′FE=90°也不可能,
所以不能使△A′EF成為直角三角形.
點評:本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、圖形旋轉(zhuǎn)變換、直角三角形的判定和性質(zhì)等知識點,綜合性較強.
練習冊系列答案
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