Question

已知二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象與x軸兩交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（m，0）、（-3m，0）（m≠0），對(duì)稱軸為直線x=1，則該二次函數(shù)的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的最值,拋物線與x軸的交點(diǎn)

專題：計(jì)算題

分析：根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)和拋物線的對(duì)稱性得到x=-m=1，解得m=-1，則拋物線與x軸兩交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-1，0）、（3，0），根據(jù)拋物線的交點(diǎn)式得到y(tǒng)=（x+1）（x-3）=x²-2x-3=（x-1）²-4，然后根據(jù)拋物線的最值問(wèn)題求解．

解答：解：∵二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象與x軸兩交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（m，0）、（-3m，0）（m≠0），
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-m=1，解得m=-1，
∴拋物線與x軸兩交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-1，0）、（3，0），
∴y=（x+1）（x-3）=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴x=1時(shí)，y的最小值為-4．
故答案為-4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的最值問(wèn)題：二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a、b、c為常數(shù)，a≠0）的圖象為拋物線，其頂點(diǎn)式為y=a（x-

b

2a

）²+

4ac-b2

4a

．當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線在對(duì)稱軸左側(cè)，y隨x的增大而減少；在對(duì)稱軸右側(cè)，y隨x的增大而增大，因?yàn)閳D象有最低點(diǎn)，所以函數(shù)有最小值，當(dāng)x=-

b

2a

時(shí)，y=

4ac-b2

4a

；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線在對(duì)稱軸左側(cè)，y隨x的增大而增大；在對(duì)稱軸右側(cè)，y隨x的增大而減少，因?yàn)閳D象有最高點(diǎn)，所以函數(shù)有最大值，當(dāng)x=-

b

2a

時(shí)，y=

4ac-b2

4a

．