Question

如圖，一次函數(shù)y=-

3

x+

3

的函數(shù)圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，以線段AB為直角邊在第一象限內(nèi)作Rt△ABC，且使∠ABC=30°．
（1）求△ABC的面積；
（2）如果在第二象限內(nèi)有一點(diǎn)P（m，

3

2

），試用含m的代數(shù)式表示△APB的面積，并求當(dāng)△APB與△ABC面積相等時m的值；
（3）是否存在使△QAB是等腰三角形并且在坐標(biāo)軸上的點(diǎn)Q？若存在，請寫出點(diǎn)Q所有可能的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再由一個角等于30°，求出AC的長，從而計算出面積；
（2）過P作PD⊥x軸，垂足為D，先求出梯形ODPB的面積和△AOB的面積之和，再減去△APD的面積，即是△APB的面積；根據(jù)△APB與△ABC面積相等，求得m的值；
（3）假設(shè)存在點(diǎn)Q，使△QAB是等腰三角形，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)即可．

解答：解：
（1）∵一次函數(shù)的解析式為y=-

3

x+

3

函數(shù)圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，
∴A（1，0），B（0，

3

），
∴AB=2，
設(shè)AC=x，則BC=2x，由勾股定理得，4x²-x²=4，
解得x=

2

3

3

，S_△ABC=

2× 2 3 3

2

=

2 3

3

；

（2）過P作PD⊥x軸，垂足為D，
S_△APB=S_梯形ODPB+S_△AOB-S_△APD=

-( 3 2 + 3 )m

2

+

3 •1

2

-

3

2

(1-m)=-

3

2

m+

3

4

，
-

3

2

m+

3

4

=

2 3

3

，解得m=-

5

6

；

（3）∵AB=

OA2+OB2

=2，
∴當(dāng)AQ=AB時，點(diǎn)Q₁（3，0），Q₂（-1，0），Q₃（0，-

3

）；
當(dāng)AB=BQ時，點(diǎn)Q₄（0，

3

+2），Q₂（0，

3

-2），Q₂（-1，0）；
當(dāng)AQ=BQ時，點(diǎn)Q₆（0，

3

3

），Q₂（-1，0），
綜上可得：（0，

3

-2），（0，

3

+2），（-1，0）（3，0），（0，-

3

），（0，

3

3

）

點(diǎn)評：此題主要考查平面直角坐標(biāo)系中圖形的面積的求法．解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)一次函數(shù)的特點(diǎn)，分別求出各點(diǎn)的坐標(biāo)再計算．