Question

（2013•長寧區(qū)一模）如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，⊙O 是Rt△ABC的內(nèi)切圓，其半徑為1，E、D是切點，∠BOC=105°．求AE的長．

Answer 1

分析：首先根據(jù)切線長的性質(zhì)以及切線的性質(zhì)得出BD的長，進而得出BC的長以及AB的長，即可得出AE的長．

解答：解：連接OD、OE．
則OD=OE=1，
∵O是△ABC的內(nèi)切圓圓心
∴OB、OC分別是∠ABC、∠ACB的角平分線，
即∠OBD=∠OBE=

1

2

∠ABC且∠OCD=

1

2

∠ACB
又∵∠ACB=90°，∴∠OCD=

1

2

∠ACB=45°，
∵OD、OE是過切點的半徑，
∴OD⊥BC 且OE⊥AB，∴∠OCD+∠COD=90°，
∴∠COD=∠OCD=45°，∴OD=CD=1，
∵∠COB=105°，∴∠DOB=∠COB-∠COD=60°，
在Rt△OBD中，
tan∠BOD=

DB

OD

=

DB

1

=

3

，
∴DB=

3

，
∠OBD+∠BOD=90°，∴∠OBD=30°，
∵∠DOB=∠OBE=

1

2

∠ABC=30°，
∴∠ABC=60°，
∴BC=BD+CD=1+

3

在Rt△ABC中，
AB=2+2

3

，
在Rt△OBE中，
∵OE=1，∠OBE=30°，
∴BE=

1

tan30°

=

3

，
∴AE=2+

3

．

點評：此題主要考查了切線的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)的應用，正確得出∠ABC的度數(shù)以及BC的長是解題關鍵．