Question

如圖，邊長(zhǎng)為7的正方形OABC放置在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度向O運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)O同時(shí)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，到達(dá)端點(diǎn)即停止運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，連PQ，BP，BQ
（1）寫出B點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）填寫下表：

時(shí)間t（單位：秒）	1	2	3	4	5	6
OP的長(zhǎng)度
OQ的長(zhǎng)度
PQ的長(zhǎng)度
四邊形OPBQ的面積

（1）根據(jù)你所填的數(shù)據(jù)，請(qǐng)你描述線段PQ的長(zhǎng)度的變化規(guī)律并猜測(cè)PQ長(zhǎng)度的最小值；
（2）根據(jù)你所填的數(shù)據(jù)，請(qǐng)問(wèn)四邊形OPBQ的面積是否發(fā)生變化并證明你的論斷；
（3）設(shè)點(diǎn)M、N分別是BP、BQ的中點(diǎn)，寫出點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，是否存在經(jīng)過(guò)M、M兩點(diǎn)的反比例函數(shù)？如果存在，求出t的值；如果不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：通過(guò)寫點(diǎn)的坐標(biāo)，填表，搞清楚本題的基本數(shù)量關(guān)系，每個(gè)量的變化規(guī)律，然后進(jìn)行猜想；用運(yùn)動(dòng)時(shí)間t，表示線段OP，OQ，CP，AQ的長(zhǎng)度，運(yùn)用割補(bǔ)法求四邊形OPBQ的面積，由中位線定理得點(diǎn)M（3.5，7-

t

2

），N（

t+7

2

，3.5），反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)是x_M•y_M=x_N•y_N，利用該等式求t值．

解答：解：（1）B（7，7）

（2）填寫下表：

時(shí)間t（單位：秒）	1	2	3	4	5	6
OP的長(zhǎng)度	6	5	4	3	2	1
OQ的長(zhǎng)度	1	2	3	4	5	6
PQ的長(zhǎng)度	37	29	5	5	29	37
四邊形OPBQ的面積	24.5	24.5	24.5	24.5	24.5	24.5

①線段PQ的長(zhǎng)度的變化規(guī)律是先減小再增大，PQ長(zhǎng)度的最小值是

7

2

2

．
（猜到

7

2

2

得（2分），猜到5～

7

2

2

之間得1分）
②根據(jù)所填數(shù)據(jù)，四邊形OPBQ的面積不會(huì)發(fā)生變化；
∵S_POQB=7×7-

7×t

2

-

7×(7-t)

2

=24.5，
∴四邊形OPBQ的面積不會(huì)發(fā)生變化．

（3）點(diǎn)M（3.5，7-

t

2

），N（

t+7

2

，3.5），
當(dāng)3.5（7-

t

2

）=

t+7

2

×3.5時(shí)，則t=3.5，
∴當(dāng)t=3.5存在經(jīng)過(guò)M，N兩點(diǎn)的反比例函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：解答本題要充分利用正方形的特殊性質(zhì)．注意在正方形中的特殊三角形的應(yīng)用，會(huì)用運(yùn)動(dòng)時(shí)間表示邊長(zhǎng)，面積，搞清楚正方形中的三角形的三邊關(guān)系，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：xy=k（定值）等，可有助于提高解題速度和準(zhǔn)確率．