Question

已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB、DC（或它們的延長(zhǎng)線）于點(diǎn)M、N．當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM=DN時(shí)（如圖1），易證BM+DN=MN．
（1）當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時(shí)（如圖2），線段BM、DN和MN之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出猜想，并加以證明；
（2）當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時(shí)，線段BM、DN和MN之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的猜想．

Answer 1

【答案】分析：（1）BM+DN=MN成立，證得B、E、M三點(diǎn)共線即可得到△AEM≌△ANM，從而證得ME=MN．
（2）DN-BM=MN．證明方法與（1）類似．
解答：解：（1）BM+DN=MN成立．
證明：如圖，把△ADN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，
得到△ABE，則可證得E、B、M三點(diǎn)共線（圖形畫正確）．
∴∠EAM=90°-∠NAM=90°-45°=45°，
又∵∠NAM=45°，
∴△AEM≌△ANM，
∴ME=MN，
∵M(jìn)E=BE+BM=DN+BM，
∴DN+BM=MN；

（2）DN-BM=MN．
在線段DN上截取DQ=BM，
在△AMN和△AQN中，

∴△AMN≌△AQN（SAS），
∴MN=QN，
∴DN-BM=MN．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解決此類問題的關(guān)鍵是正確的利用旋轉(zhuǎn)不變量．