(2008•十堰)已知拋物線y=-ax2+2ax+b與x軸的一個交點為A(-1,0),與y軸的正半軸交于點C.
(1)直接寫出拋物線的對稱軸,及拋物線與x軸的另一個交點B的坐標;
(2)當點C在以AB為直徑的⊙P上時,求拋物線的解析式;
(3)坐標平面內(nèi)是否存在點M,使得以點M和(2)中拋物線上的三點A、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,請求出點M的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】分析:(1)拋物線y=-ax2+2ax+b的對稱軸,可以根據(jù)公式直接求出,拋物線與x軸的另一交點與A關(guān)于對稱軸對稱,因而交點就可以求出.
(2)AB的長度可以求出,連接PC,在直角三角形OCP中,根據(jù)勾股定理就可以求出C點的坐標,把這點的坐標代入拋物線的解析式,就可以求出解析式.
(3)本題應(yīng)分AC或BC為對角線和以AB為對角線三種情況進行討論,當以AC或BC為對角線時,點M在x軸上方,此時CM∥AB,且CM=AB.就可以求出點M的坐標.當以AB為對角線時,點M在x軸下方易證△AOC≌△BNM,可以求出點M的坐標.
解答:解:(1)對稱軸是直線:x=1,點B的坐標是(3,0).(2分)
說明:每寫對1個給(1分),“直線”兩字沒寫不扣分.

(2)如圖,連接PC,
∵點A、B的坐標分別是A(-1,0)、B(3,0),
∴AB=4.
∴PC=AB=×4=2
在Rt△POC中,
∵OP=PA-OA=2-1=1,
∴OC=,
∴b=(3分)
當x=-1,y=0時,-a-2a+=0
∴a=(4分)
∴y=-x2+x+.(5分)

(3)存在.(6分)理由:如圖,連接AC、BC.
設(shè)點M的坐標為M(x,y).
①當以AC或BC為對角線時,點M在x軸上方,此時CM∥AB,且CM=AB.
由(2)知,AB=4,
∴|x|=4,y=OC=
∴x=±4.
∴點M的坐標為M(4,)或(-4,).(9分)
說明:少求一個點的坐標扣(1分).
②當以AB為對角線時,點M在x軸下方.
過M作MN⊥AB于N,則∠MNB=∠AOC=90度.
∵四邊形AMBC是平行四邊形,
∴AC=MB,且AC∥MB.
∴∠CAO=∠MBN.
∴△AOC≌△BNM.
∴BN=AO=1,MN=CO=
∵OB=3,
∴0N=3-1=2.
∴點M的坐標為M(2,-).(12分)
綜上所述,坐標平面內(nèi)存在點M,使得以點A、B、C、M為頂點的四邊形是平行四邊形.
其坐標為M1(4,),M2(-4,),M3(2,-).
說明:①綜上所述不寫不扣分;②如果開頭“存在”二字沒寫,但最后解答全部正確,不扣分
點評:本題主要考查了拋物線的軸對稱性,是與勾股定理相結(jié)合的題目.難度較大.
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