Question

如圖，在直角梯形OABC中，OA∥BC，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（13，0），B（11，12），動(dòng)點(diǎn)P、Q從O、B兩點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位的速度沿OA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以每秒1個(gè)單位的速度沿BC向C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．線段OB、PQ相交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE∥OA，交AB于點(diǎn)E，射線QE交x軸于點(diǎn)F．動(dòng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（單位：秒）．
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PABQ是平行四邊形，請(qǐng)寫(xiě)出推理過(guò)程；
（2）當(dāng)t=3秒時(shí)，求△PQF的面積；
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△PQF是等腰三角形？請(qǐng)寫(xiě)出推理過(guò)程．

Answer 1

分析：（1）可通過(guò)平行四邊形的判定，令PA=BQ，求出t的值；
（2）有了t的值，即可求出OP，CQ，QB的值，根據(jù)平行線段成比例，可以得出AF，進(jìn)而求出PF的值，這樣就可以求出△PQF的面積；
（3）分三種情況進(jìn)行討論，讓△PQF的三邊兩兩相等，求出t的值．

解答：解：（1）設(shè)OP=2t，BQ=t，PA=13-2t，
要使四邊形PABQ為平行四邊形，則13-2t=t，
∴t=

13

3

．

（2）當(dāng)t=3時(shí)，OP=6，CQ=11-3=8，BQ=3．
∵

QB

OP

=

BD

OD

，
∴

BD

OD

=

1

2

．
∵BC∥DE∥PA，
∴

QE

EF

=

BD

DO

=

DQ

DP

=

1

2

=

QB

AF

，
∴AF=6，
∴F（19，0）
∴S△PQF=

1

2

PF•12=78．

（3）①Q(mào)P=QF，作QG⊥x軸于G，則
11-t-2t=2t+13-（11-t），
∴t=

3

2

；
②PQ=FP，
∴

(11-3t)2+122

=13+2t-2t，
∴t=2或

16

3

；
③FQ=FP，

[13+2t-(11-t)]2+122

=13+2t-2t，
∴t=1．
綜上，當(dāng)t=

3

2

或2或

16

3

或1時(shí)，△PQF是等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：①本題綜合考查了勾股定理的應(yīng)用，直角梯形的判定，等腰三角形的判定和平行線分線段成比例等的知識(shí)點(diǎn)；
②由于知識(shí)點(diǎn)較多，有一定難度；
③要注意的是（3）中要分三種情況進(jìn)行討論，不可丟掉任何一種．