(2006•襄陽)在如圖所示的直角坐標系中,四邊形OABC是邊長為2的正方形,D為x軸上一點,連接BD交y軸于E點,且tan∠CBE=.拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)過A、C、D三點,頂點為F.
(1)求D點坐標;
(2)求拋物線的解析式及頂點F的坐標;
(3)在直線DB上是否存在點P,使四邊形PFDO為梯形?若存在,求出其坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】分析:(1)要求D點坐標需要知道OD的長,在直角三角形ABD中,已知了AB的長,而根據(jù)BC∥DA可得出∠CBE=∠ADB,即可得出∠ADB的正切值,由此可求出AD,由于OA是正方形的邊長,因此可求出OD的長.也就得出了D點的坐標.
(2)已知了正方形的邊長,即可求出A、C的坐標,在(1)中得出了D點的坐標,因此可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式,進而可用配方法或公式法求出拋物線頂點F的坐標.
(3)可先求出直線BD的解析式,然后分兩種情況求解:
①PF∥OD,可得出P、F的縱坐標相同,將F點縱坐標代入直線BD的解析式中即可求出P點的坐標,然后判定PF是否與OD相等即可.如果PF=OD,則說明四邊形PFDO是平行四邊形,不是梯形,反之則是梯形.
②PO∥DF,可根據(jù)直線BD的解析式設P點坐標(先設橫坐標,然后根據(jù)直線BD的解析式表示出縱坐標),由于PO∥DF,因此∠FDO與∠POA的正切值相同,據(jù)此可求出P點坐標,后面同①.
解答:解:(1)AD=6,D點坐標為(-4,0).

(2)設拋物線的解析式為y=a(x-2)(x+4),已知拋物線過C(0,2),
則有:2=a(0-2)(0+4),
解得a=-
∴拋物線的解析式為y=-x2-x+2,
頂點坐標為(-1,).

(3)在直線DB上存在點P,使四邊形PFDO為梯形,
直線DB的解析式為y=+
①若PF∥OD
當y=
即x=.P1,
此時PF≠OD
所以四邊形PFDO不是平行四邊形,PO與FD不平行所以四邊形PFDO是梯形.(10分)
②若PO∥FD,
設P點橫坐標為m,則縱坐標為+.過P作PG⊥x軸于G,拋物線對稱x=-1與x軸交于K.
tan∠FDK=tan∠POG
解之,得m=,經(jīng)檢驗m=是原方程的根.
P2,
OP=,DF=
因為OP≠DF,
所以四邊形PFDO不是平行四邊形,PF與OD不平行.
所以四邊形PFDO是梯形.
在直線DB上存在點P1),P2,),使四邊形PFDO為梯形.
點評:本題考查了正方形的性質(zhì)、三角函數(shù)的應用、二次函數(shù)解析式的確定、梯形的判定等知識點.
要注意(3)題中,梯形的定義是一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形,因此不要遺漏另一組對邊不平行的判定條件.
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