Question

已知二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)為M（3，-2），且與y軸交于N（0，

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2

）．
（1）求該二次函數(shù)的解析式，并用列表、描點畫出它的圖象；
（2）若該圖象與x軸交于A、B兩點，在對稱軸右側(cè)的圖象上存在點C，使得△ABC的面積等于12，求出C點的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)的頂點式的特點，設(shè)所求的二次函數(shù)解析式是y=a（x-3）²-2．再將點N（0，

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2

）的坐標(biāo)值代入解析式，求得a的值．即可求得二次函數(shù)的具體解析式．
首先列表，再根據(jù)表中的x、y對應(yīng)坐標(biāo)值，描點，畫出函數(shù)的圖象．
（2）首先令函數(shù)解析式等于0，求得A、B兩點的坐標(biāo)值．根據(jù)三角形面積計算公式求得△ABC底邊AB上的高，進而確定C點的縱坐標(biāo)，解一元二次方程得到x的值，驗證其合理性，從而確定出C點的坐標(biāo)值．

解答：解：（1）由于二次函數(shù)圖象的頂點是（3，-2），設(shè)所求的二次函數(shù)解析式是y=a（x-3）²-2．由于所求圖象過N(0，

5

2

)，
可得

5

2

=a(0-3)2-2．
解得a=

1

2

•所以y=

1

2

x2-3x+

5

2

•
列表：

x	…	1	2	3	4	5	…
y	…	0	- 3 2	-2	- 3 2	0	…

（2）當(dāng)

1

2

x2-3x+

5

2

=0時，x₁=1，x₂=5．
∴點A（1，0），點B（5，0），
則AB=4．
∵△ABC的面積為12．
∴

1

2

AB•|h|=12，
∴|h|=6．
∴拋物線頂點是（3，-2）．
h₁=6，h₂=-6（舍去）．
∵6=

1

2

x2-3x+

5

2

•
解出，x₁=7，x₂=-1．
由于拋物線對稱軸是x=3，
所以x₂=-1（舍去）．
有點C（7，6）．

點評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點有拋物線的頂點公式和三角形的面積求法．在求有關(guān)動點問題時要注意分析題意分情況討論結(jié)果．