【題目】在△ABC中,∠CAB=90°,AD⊥BC于點(diǎn)D,點(diǎn)E為AB的中點(diǎn),EC與AD交于點(diǎn)G,點(diǎn)F在BC上.
(1)如圖1,AC:AB=1:2,EF⊥CB,求證:EF=CD.
(2)如圖2,AC:AB=1:,EF⊥CE,求EF:EG的值.
【答案】(1)見(jiàn)解析(2)1:
【解析】解:(1)證明:如圖1,
在△ABC中,∵∠CAB=90°,AD⊥BC于點(diǎn)D,
∴∠CAD=∠B=90°-∠ACB。
∵AC:AB=1:2,∴AB=2AC。
∵點(diǎn)E為AB的中點(diǎn),∴AB=2BE。∴AC=BE。
在△ACD與△BEF中,∵,∴△ACD≌△BEF(AAS)。
∴CD=EF,即EF=CD。
(2)如圖2,
作EH⊥AD于H,EQ⊥BC于Q,
∵EH⊥AD,EQ⊥BC,AD⊥BC,
∴四邊形EQDH是矩形。∴∠QEH=90°。
∴∠FEQ=∠GEH=90°﹣∠QEG。,
又∵∠EQF=∠EHG=90°,
∴△EFQ∽△EGH。∴EF:EG=EQ:EH。
∵AC:AB=1:,∠CAB=90°,∴∠B=30°。
在△BEQ中,∵∠BQE=90°,∴。∴EQ=BE。
在△AEH中,∵∠AHE=90°,∠AEH=∠B=30°,∴。∴EH=AE。
∵點(diǎn)E為AB的中點(diǎn),∴BE=AE,
∴EF:EG=EQ:EH=BE:AE=1:。
(1)根據(jù)同角的余角相等得出∠CAD=∠B,根據(jù)AC:AB=1:2及點(diǎn)E為AB的中點(diǎn),得出AC=BE,再利用AAS證明△ACD≌△BEF,即可得出EF=CD。
(2)作EH⊥AD于H,EQ⊥BC于Q,先證明四邊形EQDH是矩形,得出∠QEH=90°,則∠FEQ=∠GEH,再由兩角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似證明△EFQ∽△EGH,得出EF:EG=EQ:EH,然后在△BEQ中,根據(jù)正弦函數(shù)的定義得出EQ=BE,在△AEH中,根據(jù)余弦函數(shù)的定義得出EH=AE,又BE=AE,進(jìn)而求出EF:EG的值。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上,頂點(diǎn)C在y軸的正半軸上,點(diǎn)B在雙曲線(x<0)上,點(diǎn)D在雙曲線(x>0)上,點(diǎn)D的坐標(biāo)是 (3,3)
(1)求k的值;
(2)求點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,正比例函數(shù)y=kx與反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象有個(gè)交點(diǎn)A,AB⊥x軸于點(diǎn)B.平移正比例函數(shù)y=kx的圖象,使其經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(2,0),得到直線l,直線l與y軸交于點(diǎn)C(0,﹣3)
(1)求k和m的值;
(2)點(diǎn)M是直線OA上一點(diǎn)過(guò)點(diǎn)M作MN∥AB,交反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象于點(diǎn)N,若線段MN=3,求點(diǎn)M的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,菱形ABCD的邊長(zhǎng)為20cm,∠ABC=120°.動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā),其中P以4cm/s的速度,沿A→B→C的路線向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng);Q以2cm/s的速度,沿A→C的路線向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng).當(dāng)P、Q到達(dá)終點(diǎn)C時(shí),整個(gè)運(yùn)動(dòng)隨之結(jié)束,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.
(1)在點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,請(qǐng)判斷PQ與對(duì)角線AC的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由;
(2)若點(diǎn)Q關(guān)于菱形ABCD的對(duì)角線交點(diǎn)O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為M,過(guò)點(diǎn)P且垂直于AB的直線l交菱形ABCD的邊AD(或CD)于點(diǎn)N.
①當(dāng)t為何值時(shí),點(diǎn)P、M、N在一直線上?
②當(dāng)點(diǎn)P、M、N不在一直線上時(shí),是否存在這樣的t,使得△PMN是以PN為一直角邊的直角三角形?若存在,請(qǐng)求出所有符合條件的t的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,AB是⊙O的直徑,AC和BD相交于點(diǎn)E,且DC2=CECA.
(1)求證:BC=CD;
(2)分別延長(zhǎng)AB,DC交于點(diǎn)P,若PB=OB,CD=2,求⊙O的半徑.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示,下列結(jié)論:①2a+b<0;②abc<0;③b2﹣4ac>0;④a+b+c<0;⑤(a﹣2b+c)<0,其中正確的個(gè)數(shù)是( 。
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,直線AB和拋物線的交點(diǎn)是A(0,-3),B(5,9),已知拋物線的頂點(diǎn)D的橫坐標(biāo)是2.
(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo);
(2)在軸上是否存在一點(diǎn)C,與A,B組成等腰三角形?若存在,求出點(diǎn)C的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)在直線AB的下方拋物線上找一點(diǎn)P,連接PA,PB使得△PAB的面積最大,并求出這個(gè)最大值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知一個(gè)模型的三視圖如圖所示(單位:m).
(1)請(qǐng)描述這個(gè)模型的形狀;
(2)若制作這個(gè)模型的木料密度為360 kg/m3,則這個(gè)模型的質(zhì)量是多少?
(3)如果用油漆漆這個(gè)模型,每千克油漆可以漆4 m2,那么需要多少千克油漆?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】綜合與實(shí)踐:制作無(wú)蓋盒子
任務(wù)一:如圖1,有一塊矩形紙板,長(zhǎng)是寬的2倍,要將其四角各剪去一個(gè)正方形,折成高為4cm,容積為的無(wú)蓋長(zhǎng)方體盒子紙板厚度忽略不計(jì).
請(qǐng)?jiān)趫D1的矩形紙板中畫(huà)出示意圖,用實(shí)線表示剪切線,虛線表示折痕.
請(qǐng)求出這塊矩形紙板的長(zhǎng)和寬.
任務(wù)二:圖2是一個(gè)高為4cm的無(wú)蓋的五棱柱盒子直棱柱,圖3是其底面,在五邊形ABCDE中,,,,.
試判斷圖3中AE與DE的數(shù)量關(guān)系,并加以證明.
圖2中的五棱柱盒子可按圖4所示的示意圖,將矩形紙板剪切折合而成,那么這個(gè)矩形紙板的長(zhǎng)和寬至少各為多少cm?請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)果圖中實(shí)線表示剪切線,虛線表示折痕紙板厚度及剪切接縫處損耗忽略不計(jì).
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