Question

已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（-2，1），一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（-1，2），
（1）求出反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；
（2）求△OAB的面積；
（3）在x軸是否存在一點(diǎn)P使△OAP為等腰三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（-2，1），
∴，m=-2，
∴反比例函數(shù)的解析式為
∵一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（-2，1）和點(diǎn)B（-1，2），
∴，
解得，
∴一次函數(shù)的解析式為y=x+3；

（2）設(shè)直線AB與y軸交于點(diǎn)C，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3）．
∵S_△AOC=×3×2=3，S_△BOC=×3×1=1.5，
∴S_△AOB=S_△AOC-S_△BOC=3-1.5=1.5；

（3）在x軸存在點(diǎn)P，使△OAP為等腰三角形．
當(dāng)AP=AO時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（-4，0）；
當(dāng)PA=PO時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（-1.25，0）；
當(dāng)OA=OP時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（，0），（-，0）．
分析：（1）反比例函數(shù)y₁=的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（-2，1），代入即可求出解析式，同理一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（-2，1），B（-1，2），根據(jù)待定系數(shù)法即可求出函數(shù)解析式；
（2）設(shè)直線AB與y軸交于點(diǎn)C，則S_△AOB=S_△AOC-S_△BOC；
（3）顯然存在．分別以A、P、O為等腰三角形的頂點(diǎn)進(jìn)行討論．
點(diǎn)評：本題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，三角形的面積和等腰三角形的性質(zhì)．此題難度在后兩個問題，主要運(yùn)用了：（1）分割轉(zhuǎn)化思想，（2）分類討論思想．