Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于A、B兩點（A在B的左側(cè)），與y軸交于點C (0，4)，頂點為（1，）．

（1）求拋物線的函數(shù)表達式；

（2）設(shè)拋物線的對稱軸與軸交于點D，試在對稱軸上找出點P，使△CDP為等腰三角形，請直接寫出滿足條件的所有點P的坐標(biāo)．

（3）若點E是線段AB上的一個動點（與A、B不重合），分別連接AC、BC，過點E作EF∥AC交線段BC于點F，連接CE，記△CEF的面積為S，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值及此時E點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）∵拋物線的頂點為（1，）

∴設(shè)拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y＝a ( x－1) ²＋        ……………2分

∵拋物線與y軸交于點C (0，4)，

∴a (0－1) ²＋＝4，解得a＝－

∴所求拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y＝－( x－1) ²＋     ………4分

（2）解：P₁ (1，)，P₂ (1，－)， P₃ (1，8)，P₄ (1，)，   …8分

（3）解：令－( x－1) ²＋＝0，解得x₁＝－2，x₁＝4

∴拋物線y＝－( x－1) ²＋與x軸的交點為A (－2，0)  C (4，0)……9分

過點F作FM⊥OB于點M，

∵EF∥AC，∴△BEF∽△BAC，∴＝

又∵OC＝4，AB＝6，∴MF＝×OC＝EB

設(shè)E點坐標(biāo)為 (x，0)，則EB＝4－x，MF＝ (4－x)     …10分

∴S＝S_△BCE－S_△BEF＝ EB·OC－ EB·MF

＝ EB(OC－MF)＝ (4－x)[4－ (4－x)]＝－x²＋x＋＝－( x－1) ²＋3

∵a＝－＜0，∴S有最大值

當(dāng)x＝1時，S_最大值＝3       …11分

此時點E的坐標(biāo)為 (1，0)                  …12分