Question

如圖，P為△ABC內(nèi)一點，連接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一個三角形與△ABC相似，那么就稱P為△ABC的自相似點．

(1)如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ACB＞∠A，CD是AB上的中線，過點B作BE⊥CD，垂足為E，試說明E是△ABC的自相似點．

(2)在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C．

①如圖，利用尺規(guī)作出△ABC的自相似點P(寫出作法并保留作圖痕跡)；

②若△ABC的內(nèi)心P是該三角形的自相似點，求該三角形三個內(nèi)角的度數(shù)．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB上的中線，∴，∴CD＝BD． 　　∴∠BCE＝∠ABC．∵BE⊥CD，∴∠BEC＝90°，∴∠BEC＝∠ACB．∴△BCE∽△ABC． 　　∴E是△ABC的自相似點． 　　(2)①作圖略． 　　作法如下：(i)在∠ABC內(nèi)，作∠CBD＝∠A； 　　(ii)在∠ACB內(nèi)，作∠BCE＝∠ABC；BD交CE于點P． 　　則P為△ABC的自相似點． 　�、谶B接PB、PC．∵P為△ABC的內(nèi)心，∴，． 　　∵P為△ABC的自相似點，∴△BCP∽△ABC． 　　∴∠PBC＝∠A，∠BCP＝∠ABC＝2∠PBC＝2∠A， 　　∠ACB＝2∠BCP＝4∠A．∵∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°． 　　∴∠A＋2∠A＋4∠A＝180°． 　　∴．∴該三角形三個內(nèi)角的度數(shù)分別為、、．