Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，AB=AC=4．一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)C即停止．在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥BC與Rt△ABC的直角邊相交于點(diǎn)D，延長(zhǎng)PD至點(diǎn)Q，使得PD=QD，以PQ為斜邊在PQ左側(cè)作等腰直角三角形PQE．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0）．

(1)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)△ABC與△PQE重疊部分的面積為S，請(qǐng)直接寫(xiě)出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式以及相應(yīng)的自變量t的取值范圍；

(2)當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上時(shí)，連接AQ、AP，是否存在這樣的t，使得△APQ成為等腰三角形？若存在，求出對(duì)應(yīng)的t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)當(dāng)t=4秒時(shí)，以PQ為斜邊在PQ右側(cè)作等腰直角三角形PQF，將四邊形PEQF繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，PE與線段AB相交于點(diǎn)M，PF與線段AC相交于點(diǎn)N．試判斷在這一旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，四邊形PMAN的面積是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化，求出四邊形PMAN的面積y與PM的長(zhǎng)x之間的函數(shù)關(guān)系式以及相應(yīng)的自變量x的取值范圍；若不發(fā)生變化，求出此定值．

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)0＜t≤4時(shí)，S=t2，當(dāng)4＜t≤時(shí)，S=-t2+8t-16，當(dāng)＜t＜8時(shí)，S=t2-12t+48；（2）秒或t2=（12-4）秒；（3）8.

【解析】

試題（1）當(dāng)PQ過(guò)A時(shí)求出t=4，當(dāng)E在AB上時(shí)求出t=，當(dāng)P到C點(diǎn)時(shí)t=8，即分為三種情況：根據(jù)三角形面積公式求出當(dāng)0＜t≤4時(shí)，S=t2，當(dāng)4＜t≤時(shí)，S=-t2+8t-16，當(dāng)＜t＜8時(shí)，S=t2-12t+48；

（2）存在，當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上時(shí)，求出QD=PD=t，PD=2t，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，PH=BH-BP=4-t，在Rt△APH中求出AP=，

（ⅰ）若AP=PQ，則有，

（ⅱ）若AQ=PQ，過(guò)點(diǎn)Q作QG⊥AP于點(diǎn)G，根據(jù)△PGQ∽△AHP求出PG=，若AQ=PQ，得出．

（ⅲ）若AP=AQ，過(guò)點(diǎn)A作AT⊥PQ于點(diǎn)T，得出4=×2t，求出方程的解即可；

（3）四邊形PMAN的面積不發(fā)生變化，連接AP，此時(shí)t=4秒，求出S四邊形PMAN=S△APM+S△APN=S△CPN+S△APN=S△ACP=×CP×AP=8．

試題解析：（1）當(dāng)0＜t≤4時(shí)，S=t2，當(dāng)4＜t≤時(shí)，S=-t2+8t-16，當(dāng)＜t＜8時(shí)，S=t2-12t+48；（2）存在，理由如下：

當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上時(shí)，

∵AB=AC，

∴∠B=∠C=（180°-∠BAC）=45°．

∵PD⊥BC，

∴∠BPD=90°，

∴∠BDP=45°，

∴PD=BP=t，

∴QD=PD=t，

∴PQ=QD+PD=2t．

過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，

∵AB=AC，

∴BH=CH=BC=4，AH=BH=4，

∴PH=BH-BP=4-t，

在Rt△APH中，AP=；

（ⅰ）若AP=PQ，則有．

解得：，（不合題意，舍去）；

（ⅱ）若AQ=PQ，過(guò)點(diǎn)Q作QG⊥AP于點(diǎn)G，如圖（1），

∵∠BPQ=∠BHA=90°，

∴PQ∥AH．

∴∠APQ=∠PAH．

∵QG⊥AP，

∴∠PGQ=90°，

∴∠PGQ=∠AHP=90°，

∴△PGQ∽△AHP，

∴，即，

∴，

若AQ=PQ，由于QG⊥AP，則有AG=PG，即PG=AP，

即．

解得：t1=12-4，t2=12+4（不合題意，舍去）；

（ⅲ）若AP=AQ，過(guò)點(diǎn)A作AT⊥PQ于點(diǎn)T，如圖（2），

易知四邊形AHPT是矩形，故PT=AH=4．

若AP=AQ，由于AT⊥PQ，則有QT=PT，即PT=PQ，

即4=×2t．解得t=4．

當(dāng)t=4時(shí)，A、P、Q三點(diǎn)共線，△APQ不存在，故t=4舍去．

綜上所述，存在這樣的t，使得△APQ成為等腰三角形，即秒或t2=（12-4）秒；

（3）四邊形PMAN的面積不發(fā)生變化．理由如下：

∵等腰直角三角形PQE，

∴∠EPQ=45°，

∵等腰直角三角形PQF，

∴∠FPQ=45°．

∴∠EPF=∠EPQ+∠FPQ=45°+45°=90°，

連接AP，如圖（3），

∵此時(shí)t=4秒，

∴BP=4×1=4=BC，

∴點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)．

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴AP⊥BC，AP=BC=CP=BP=4，∠BAP=∠CAP=∠BAC=45°，

∴∠APC=90°，∠C=45°，

∴∠C=∠BAP=45°，

∵∠APC=∠CPN+∠APN=90°，

∠EPF=∠APM+∠APN=90°，

∴∠CPN=∠APM，

∴△CPN≌△APM，

∴S△CPN=S△APM，

∴S四邊形PMAN=S△APM+S△APN=S△CPN+S△APN=S△ACP=×CP×AP=×4×4=8．

∴四邊形PMAN的面積不發(fā)生變化，此定值為8．

考點(diǎn): 相似形綜合題.