Question

已知實數(shù)a、b滿足條件|a-b|=

b

a

＜1，化簡代數(shù)式（

1

a

-

1

b

）

(a-b-1)2

，將結(jié)果表示成只含有字母a的形式．

Answer 1

分析：由已知可得a-b-1=（a-b）-1＜0，據(jù)此把代數(shù)式化簡，又因為要將結(jié)果表示成只含有字母a的形式，根據(jù)
|a-b|=

b

a

，分情況討論，得出用a表示b的代數(shù)式，代入化簡即可．

解答：解：∵|a-b|=

b

a

＜1，
∴a、b同號，且a≠0，b≠0，
∴a-b-1=（a-b）-1＜0，
∴（

1

a

-

1

b

）

(a-b-1)2

=（

1

a

-

1

b

）[1-（a-b）]=

b-a

ab

[1-(a-b)]．
①若a、b同為正數(shù)，由

b

a

＜1，得a＞b，
∴a-b=

b

a

，a²-ab=b，解得b=

a2

a+1

，
∴（

1

a

-

1

b

）

(a-b-1)2

=

b-a

ab

[1-(a-b)]=

- b a

a ab

(1-

b

a

)
=-

1

a2

•

a-b

a

=-

b

a4

=-

1

a2(a+1)

；
②若a、b同為負(fù)數(shù)，由

b

a

＜1，得b＞a，
∴a-b=-

b

a

，a²-ab=-b，解得b=

a2

a-1

，
∴（

1

a

-

1

b

）

(a-b-1)2

=

b-a

ab

[1-(a-b)]=

b

a ab

(1+

b

a

)
=

a+b

a3

=

a+ a2 a-1

a3

=

2a-1

a2(a-1)

．
綜上所述，當(dāng)a、b同為正數(shù)時，原式的結(jié)果為-

1

a2(a+1)

；當(dāng)a、b同為負(fù)數(shù)時，原式的結(jié)果為

2a-1

a2(a-1)

．

點(diǎn)評：此題考查二次根式的化簡求值，利用了

a2

=a（a≥0）的性質(zhì)，要充分利用已知條件，難度較大．