Question

秋實中學(xué)教工宿舍前15米遠(yuǎn)處的一棵大樹AB被大雪壓斷，被壓斷倒下的樹尖A正好靠在房頂外端，為了測量大樹壓斷前的高度，小明在點A處測得點C仰角α的度數(shù)為30°，測得點B俯角β的度數(shù)為45°，你能計算大樹AB壓斷前的高度嗎？試寫出解答過程．（結(jié)果可保留根號）

Answer 1

分析：過A作AD⊥BC，垂足為D．根據(jù)矩形的性質(zhì)可得AD=BE=15米，根據(jù)三角函數(shù)的知識可得BD、AC、CD的長，相加即可求得大樹AB壓斷前的高度．

解答：解：能計算大樹AB壓斷前的高度．…（1分）
過A作AD⊥BC，垂足為D．
則∠ADB=∠ADC=90°．
根據(jù)題意，得∠CAD=α=30°，∠DAB=β=45°，
∵四邊形AEBD是矩形，
∴AD=BE=15米．
在Rt△ADB中，tan∠DAB=

BD

AD

，
∴BD=AD•tan∠DAB=15•tan45°=15•1=15（米）．…（4分）
在Rt△ADC中，cos∠CAD=

AD

AC

，
∴AC=

AD

cos∠CAD

=

15

cos300

=

15

3 2

=10

3

（米）．
∴CD=

1

2

AC=

1

2

•10

3

=5

3

（米）．…（7分）
∴AB=AC+CD+BD=10

3

+5

3

+15=15（

3

+1）（米）．…（8分）
答：大樹AB壓斷前的高度15（

3

+1）米．…（9分）

點評：考查了解直角三角形的應(yīng)用在生活中的應(yīng)用．善于觀察題目的信息是解題以及學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵．