如圖,⊙O的半徑等于R,AB,CD都是⊙O的直徑,
AC
=120°,P點在
DB
上,PA交CD于M,PC交AB精英家教網(wǎng)于N.
(1)求證OM+ON是一個定值;
(2)寫出圖中所有的相似三角形.
分析:(1)根據(jù)同弧所對的圓周角相等得到△ADO和△CBO都是等邊三角形,從而證得△ADM≌△CON,OM+ON=OM+DM=OD=R.
(2)利用同弧或等弧所對的圓周角相等得到相等的角,然后證得相似的三角形即可.
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)連接AD、CB,
∵AB,CD都是⊙O的直徑,
AC
=120°,
∴∠ADO=∠CBO=60°
∴△ADO和△CBO都是等邊三角形,
∴∠ADM=∠CON、∠DAP=∠DCP、AD=AO=OB=BC,
∴△ADM≌△CON,
∴ON=DM,
∴OM+ON=OM+DM=OD=R,
∴OM+ON是一個定值;

(2)∵∠AOM=∠APC,∠PAB=∠PAB,
∴△OAM∽△APN,
∵∠CON=∠CPA,∠DCP=∠DCP,
∴△CON∽△CPM.
點評:本題考查了圓周角定理及相似三角形的判定及性質(zhì),解決本題的關(guān)鍵是正確地作出輔助線.
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