Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，為原點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得，點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，.記旋轉(zhuǎn)角為.

(Ⅰ)如圖①，若，求的長(zhǎng)；

(Ⅱ)如圖②，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

(Ⅲ)記為的中點(diǎn)，S為的面積，求S的取值范圍(直接寫(xiě)出結(jié)果即可).

Answer 1

【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)點(diǎn)的坐標(biāo)為；(Ⅲ).

【解析】

(Ⅰ)利用勾股定理求出AB的長(zhǎng)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠BAB′=90°，AB=AB′，利用勾股定理求出BB′的長(zhǎng)即可；(Ⅱ) 點(diǎn)作軸，垂足為，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，.即可求出∠O′AC=60°，利用∠O′AC的三角函數(shù)可求出OC和AC的長(zhǎng)，進(jìn)而可得OC的長(zhǎng)，即可得答案；(Ⅲ)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得點(diǎn)O′在以A為圓心，AO為半徑的圓上，且O′B′為圓的切線(xiàn)，可得O′在AB上時(shí)S最小，O′在BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)S最大，先求出KO′的長(zhǎng)，進(jìn)而求出S的值即可得答案.

(Ⅰ)∵點(diǎn)，點(diǎn)，

∴，.

在中，由勾股定理，得.

根據(jù)題意，是繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得，.

∴在中，.

(Ⅱ)如圖，根據(jù)題意，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，

可得，.

過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，則.

在中，

由，

得，

.

有.

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.

(Ⅲ)如圖，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得點(diǎn)O′在以A為圓心，AO為半徑的圓上，且O′B′為圓的切線(xiàn)，

∴O′在AB上時(shí)S最小，O′在BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)S最大，

當(dāng)O′在AB上時(shí)，

∵K為AB中點(diǎn)，

∴AK=，

∴KO′=4-=

∴S=××3=，

當(dāng)O′在BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，KO′=AK+AO′=+4=，

∴S=××3=，

∴S的取值范圍為：≤S≤.