Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線(xiàn)交軸于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，的角平分線(xiàn)交軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)的垂線(xiàn)，交軸于點(diǎn)．

（1）求直線(xiàn)的解析式；

（2）如圖2，若點(diǎn)為直線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸，交直線(xiàn)于點(diǎn)，當(dāng)四邊形為菱形時(shí)，求的面積；

（3）如圖3，點(diǎn)為軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接、，將沿翻折得到，當(dāng)以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）(，)，(，)，(，)，(，)

【解析】

（1）分別令為0，建立方程可求得A、B的坐標(biāo)，并由tan∠BAO=，求得∠BAO=60°，由AC平分∠BAO求得C的坐標(biāo)，再求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求得CD的解析式；
（2）根據(jù)菱形對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分這一性質(zhì)，可以確定點(diǎn)M的坐標(biāo)，易求出△ACM的面積；
（3）△為等腰三角形，分類(lèi)討論：①當(dāng)且點(diǎn)P在負(fù)半軸上，時(shí)，證明△是等邊三角形解決問(wèn)題．②當(dāng)時(shí)，過(guò)作⊥y軸于H，易證△≌△（AAS），利用全等三角形性質(zhì)解決問(wèn)題即可．③當(dāng)時(shí)，若點(diǎn)P在負(fù)半軸上，不存在，若點(diǎn)P在正半軸上，點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，．④當(dāng)且點(diǎn)P在正半軸上時(shí)，利用面積法即可求解．

（1）如圖，

在中，令，得，令得，解得，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，3），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（，0），

在中，∠AOB=90°，，

∴∠BAO=60°，
∵AC平分∠BAO，
∴∠CAO=∠BAO=30°
∵tan∠CAO=，
∴OC=OAtan∠CAO=3tan30°=，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（，0），

∵CD⊥AB，
∴∠ODC=90°-∠BAO=90°-60°=30°，
在Rt△COD中，∠COD=90°，tan∠ODC=，

∴OD=，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，），

設(shè)直線(xiàn)CD解析式為，將C（，0），D（，）代入得：

，解得，

∴直線(xiàn)CD的解析式為；
（2）如圖，令CD與AB交于點(diǎn)E，

∵四邊形AMND是菱形，
∴AE=NE DE=ME，
解方程組，得，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，），

設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，則，

∴，

則，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(，)，

∵四邊形AMND是菱形，

∴對(duì)角線(xiàn)相互垂直平分，
在Rt△ADE中，cos∠ODC=，sin∠ODC=，AD=OA+OD=3+3=6，

∴DE=AD×cos∠ODC=6cos30°=，AE=ADsin∠ODC=6sin30°=3，
∴ME=DE=，

在Rt△ODC中，∠ODC=30°，

∴CD=2OC=2，

∴CM=2DM-CD=，

∴；

（3）如圖，

△為等腰三角形，分三種情況：
①當(dāng)時(shí)，
由翻折知：，，，
∵，
∴，
∴，
∴△是等邊三角形
∴，
∴∠ADP=30°，

在Rt△PDO中，，

∴，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)，

②當(dāng)時(shí)，

∴在線(xiàn)段AB垂直平分線(xiàn)上，
由（2）得，直線(xiàn)CD是線(xiàn)段AB垂直平分線(xiàn)，

∴點(diǎn)在直線(xiàn)CD上，如圖：

由翻折知：，，，
∵∠ADC=30°，
∴，，
∵OA=OD，PO⊥AD，
∴∠APO=∠DPO=15°，
∴=30°，
∴60°，
∴△是等邊三角形，
∴，
過(guò)作⊥軸于H，

∵=90°，
∴=15°，

又∵=90°，

∴△≌△（AAS）
=3，，
點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-3，將代入直線(xiàn)CD的解析式中，得，

∴OH=，OP=AH=AO+OH=，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)；

③當(dāng)時(shí)，
若點(diǎn)P在負(fù)半軸上，不存在，
若點(diǎn)P在正半軸上，點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，，如圖：

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)；

④當(dāng)時(shí)，

∴在線(xiàn)段AB垂直平分線(xiàn)上，
由（2）得，直線(xiàn)CD是線(xiàn)段AB垂直平分線(xiàn)，

∴點(diǎn)在直線(xiàn)CD上，如圖：

由翻折知：，，，
∴DP平分∠ODC，

過(guò)P作PG⊥CD于G，

∵DP平分∠ODC，

設(shè)PO=OG=，

∵OC=，∠ODC=30，

∴CD=2，OD=3，

∵，

∴，

解得：，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)，(，)，(，)，(，) ．