(2009•欽州)如圖,已知拋物線y=x2+bx+c與坐標(biāo)軸交于A、B、C三點(diǎn),A點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1,0),過(guò)點(diǎn)C的直線y=x-3與x軸交于點(diǎn)Q,點(diǎn)P是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)P作PH⊥OB于點(diǎn)H.若PB=5t,且0<t<1.
(1)填空:點(diǎn)C的坐標(biāo)是______,b=______,c=______;
(2)求線段QH的長(zhǎng)(用含t的式子表示);
(3)依點(diǎn)P的變化,是否存在t的值,使以P、H、Q為頂點(diǎn)的三角形與△COQ相似?若存在,求出所有t的值;若不存在,說(shuō)明理由.
【答案】分析:(1)由于直線y=x-3過(guò)C點(diǎn),因此C點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,-3),那么拋物線的解析式中c=-3,然后將A點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中即可求出b的值;
(2)求QH的長(zhǎng),需知道OQ,OH的長(zhǎng).根據(jù)CQ所在直線的解析式即可求出Q的坐標(biāo),也就得出了OQ的長(zhǎng),然后求OH的長(zhǎng).
在(1)中可得出拋物線的解析式,那么可求出B的坐標(biāo).在直角三角形BPH中,可根據(jù)BP=5t以及∠CBO的正弦值(可在直角三角形COB中求出).得出BH的長(zhǎng),根據(jù)OB的長(zhǎng)即可求出OH的長(zhǎng).然后OH,OQ的差的絕對(duì)值就是QH的長(zhǎng);
(3)本題要分①當(dāng)H在Q、B之間.②在H在O,Q之間兩種情況進(jìn)行討論;根據(jù)不同的對(duì)應(yīng)角得出的不同的對(duì)應(yīng)成比例線段來(lái)求出t的值.
解答:解:(1)(0,-3),b=-,c=-3;

(2)由(1),得y=x2-x-3,它與x軸交于A,B兩點(diǎn),得B(4,0).
∴OB=4,
又∵OC=3,
∴BC=5.
由題意,得△BHP∽△BOC,
∵OC:OB:BC=3:4:5,
∴HP:HB:BP=3:4:5,
∵PB=5t,∴HB=4t,HP=3t.
∴OH=OB-HB=4-4t.
由y=x-3與x軸交于點(diǎn)Q,得Q(4t,0).
∴OQ=4t.
①當(dāng)H在Q、B之間時(shí),QH=OH-OQ=(4-4t)-4t=4-8t.
②當(dāng)H在O、Q之間時(shí),QH=OQ-OH=4t-(4-4t)=8t-4.
綜合①,②得QH=|4-8t|;

(3)存在t的值,使以P、H、Q為頂點(diǎn)的三角形與△COQ相似.
①當(dāng)H在Q、B之間時(shí),QH=4-8t,
若△QHP∽△COQ,則QH:CO=HP:OQ,得=,
∴t=
若△PHQ∽△COQ,則PH:CO=HQ:OQ,得=
即t2+2t-1=0.
∴t1=-1,t2=--1(舍去).
②當(dāng)H在O、Q之間時(shí),QH=8t-4.
若△QHP∽△COQ,則QH:CO=HP:OQ,得=,
∴t=
若△PHQ∽△COQ,則PH:CO=HQ:OQ,得=
即t2-2t+1=0.
∴t1=t2=1(舍去).
綜上所述,存在t的值,t1=-1,t2=,t3=
點(diǎn)評(píng):本題著重考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、三角形相似等重要知識(shí)點(diǎn),要注意的是(3)題要分Q的不同位置進(jìn)行分類討論,而在每種分類情況下又要根據(jù)不同的對(duì)應(yīng)相似三角形進(jìn)一步分類討論,不要漏解.
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(1)填空:點(diǎn)C的坐標(biāo)是______,b=______,c=______;
(2)求線段QH的長(zhǎng)(用含t的式子表示);
(3)依點(diǎn)P的變化,是否存在t的值,使以P、H、Q為頂點(diǎn)的三角形與△COQ相似?若存在,求出所有t的值;若不存在,說(shuō)明理由.

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C.5π
D.10π

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