Question

（2013•海寧市模擬）如圖，Rt△OAB的斜邊OA在x軸上，點(diǎn)B在第一象限，OA：OB=5：4．邊AB的垂直平分線分別交AB、x軸于點(diǎn)C、D，線段CD交反比例函數(shù)y=

3

x

的圖象于點(diǎn)E．當(dāng)BC=CE時，以DE為邊的正方形的面積是（　　）

• A．

  25

  29

• B．1
• C．

  30

  29

• D．

  36

  29

Answer 1

分析：連結(jié)AE并且延長交OB于F點(diǎn)，連結(jié)BE，作FH⊥x軸于H，設(shè)OA=5x，則OB=4x，根據(jù)勾股定理計算出AB=3x，且A點(diǎn)坐標(biāo)為（5x，0），根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得CB=CA，EC⊥AB，EA=EB，DC=

1

2

OB=2x，而BC=CE，則EC=CA=CB=

3

2

x，所以△ABE為等腰直角三角形，同樣得到△FBA為等腰直角三角形，則BF=BA=3x，EF=EA，得到OF=x，易證得Rt△OFH∽Rt△OAB，運(yùn)用相似比可得到FH=

3

5

x，OH=

4

5

x，則F點(diǎn)坐標(biāo)為（

4

5

x，

3

5

x），在求出AF的中點(diǎn)E的坐標(biāo)（

29

10

x，

3

10

x），把E點(diǎn)坐標(biāo)代入代入y=

3

x

求出x，則利用DE=DC-EC=2x-

3

2

x=

1

2

x求出DE，然后根據(jù)正方形面積公式計算即可．

解答：解：連結(jié)AE并且延長交OB于F點(diǎn)，連結(jié)BE，作FH⊥x軸于H，如圖，
設(shè)OA=5x，則OB=4x，所以AB=

OA2-OB2

=3x，A點(diǎn)坐標(biāo)為（5x，0），
∵邊AB的垂直平分線分別交AB、x軸于點(diǎn)C、D，
∴CB=CA，EC⊥AB，EA=EB，DC=

1

2

OB=2x，
∵BC=CE，
∴EC=CA=CB=

3

2

x，
∴△ABE為等腰直角三角形，
∴BE⊥AE，∠EBA=45°，
而∠OBA=90°，
∴BE平分∠FBA，
∴△FBA為等腰直角三角形，
∴BF=BA=3x，EF=EA，
∴OF=OB-BF=x，
∵∠FOH=∠AOB，
∴Rt△OFH∽Rt△OAB，
∴

FH

AB

=

OH

OB

=

OF

OA

，即

FH

3x

=

OH

4x

=

x

5x

，
∴FH=

3

5

x，OH=

4

5

x，
∴F點(diǎn)坐標(biāo)為（

4

5

x，

3

5

x），
∵E點(diǎn)為AF的中點(diǎn)，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（

29

10

x，

3

10

x），
把E（

29

10

x，

3

10

x）代入y=

3

x

得

29

10

x•

3

10

x=3，解得x=

10 29

29

，
∴DE=DC-EC=2x-

3

2

x=

1

2

x=

5 29

29

，
∴以DE為邊的正方形的面積=DE²=（

5 29

29

）²=

25

29

．
故選A．

點(diǎn)評：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、線段垂直平分線的性質(zhì)和等腰直角三角形的判定與性質(zhì)；熟練運(yùn)用勾股定理和相似比進(jìn)行幾何計算．