Question

如圖，△ABC內(nèi)接于半圓，圓心為O，AB是直徑，過(guò)A作直線MN，若∠MAC=∠ABC．
（1）求證：MN是半圓的切線；
（2）設(shè)D是弧AC的中點(diǎn)，連接BD交AC于G，過(guò)D作DE⊥AB于E，交AC于F．求證：DE=

1

2

AC；
（3）在（2）的條件下，若△DFG的面積為S，且DG=a，GC=b，試求△BCG的面積．（用a、b、s的代數(shù)式表示）

Answer 1

分析：（1）由于AB是直徑，那么∠C=90°，于是∠CBA+∠BAC=90°，而∠MAC=∠ABC，可證∠MAC+∠CAB=90°，即∠BAM=90°，可證MN是⊙O的切線；
（2）連接OD交AC于H，由于D是AC中點(diǎn)，那么OD⊥AC，AH=

1

2

AC，而∠DOE=∠AOH，∠OHA=∠OED=90°，OA=OD，易證△OAH≌△ODE，從而有DE=AH=

1

2

AC；
（3）連接AD，由（2）中△OAH≌△ODE，可知∠ODE=∠OAH，再結(jié)合OA=OD，易證∠FDA=∠FAD，可得FD=FA，而AB是直徑，那么∠ADB=90°，易證FG=DF，從而有FG=FA=FD，那么S_△DGF=

1

2

S_△ADG，而根據(jù)圖易知△BCG∽△ADG，于是有S_△BCG：S_△ADG=（

CG

DG

）²=（

b

a

）²，易求S_△BCG．

解答：解：如右圖所示，
（1）∵AB是直徑，
∴∠C=90°，
∴∠CBA+∠BAC=90°，
又∵∠MAC=∠ABC，
∴∠MAC+∠CAB=90°，
即∠BAM=90°，
∴OA⊥MN，
∴MN是⊙O的切線；

（2）連接OD交AC于H，
∵D是AC中點(diǎn)，
∴OD⊥AC，AH=

1

2

AC，
∵∠DOE=∠AOH，∠OHA=∠OED=90°，OA=OD，
∴△OAH≌△ODE，
∴DE=AH=

1

2

AC；

（3）連接AD，
由（2）知△OAH≌△ODE，
∴∠ODE=∠OAH，
又∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
∴∠ODA-∠ODE=∠OAD-∠OAH，
即∠FDA=∠FAD，
∴FD=FA，
∵AB是直徑，
∴∠BDA=90°，
∴∠FDA+∠GDF=90°，∠DAF+∠DGF=90°，
∴∠GDF=∠DGF，
∴FG=DF，
∴FG=FA=FD，
∴S_△DGF=

1

2

S_△ADG，
易證△BCG∽△ADG，
∴S_△BCG：S_△ADG=（

CG

DG

）²=（

b

a

）²，
∴S_△BCG=

2b2S

a2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、垂徑定理、相似三角形的判定和性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是作輔助線，如連接OD交AC于H，連接AD，構(gòu)造直角三角形和等腰三角形．