Question

25、已知如圖，B是AC上一點，△ABD和△DCE都是等邊三角形．
（1）求證：AC=BE；
（2）若BE⊥DC，求∠BDC的度數．

Answer 1

分析：（1）、由等量加上等量還是等量知，∠ADC=∠BDE，由等邊三角形的性質知，AD=BD，CD=DE，故由SAS證得△ADC≌△BDE，可得AC=BE
（2）、由題意知，BE是CD的中垂線，由中垂線的性質：中垂線上的點到線段的兩個端點的距離相等知，DE=BC=AB，故△ADC是直角三角形，點B是斜邊上的中點則可求得∠BDC的度數．

解答：（1）證明：∵△ABD和△DCE都是等邊三角形，
∴∠ADB=∠CDE=60°，AD=BD，CD=DE．
∴∠ADB+∠BDC=∠BDC+∠FDE，即∠ADC=∠BDE．
∴△ADC≌△BDE．
∴AC=BE．

（2）解：∵△DCE是等邊三角形，
∴DE=CE，又BE⊥DC，
∴F為DC的中點（三線合一），
∴BE是CD的中垂線．
∴DB=CB．又△ABD是等邊三角形，
∴AB=DB=BC，
∴△ADC是直角三角形（三角形一邊上的中線等于這邊的一半，則這邊所對的角為直角），
∵∠A=60，
∴∠BDC=∠ACD=90°-∠A=90°-60°=30°．

點評：本題考查了等邊三角形的性質、全等三角形的判定和性質、中垂線的判定和性質及直角三角形的判定和性質求解．各種知識的綜合運用是正確解答本題的關鍵．