Question

如圖，拋物線y=ax²+bx-3與x軸交于兩點(diǎn)A（1，0）、B（3，0），與y軸交于點(diǎn)D．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線是否存在一點(diǎn)P，使得△BDP是以BD為斜邊的直角三角形，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）在x軸下方的拋物線上是否存在點(diǎn)M，過(guò)M作MN⊥x軸于點(diǎn)N，使以A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似？若存在，則求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式即可；
（2）過(guò)P作x軸的平行線交Y軸于E點(diǎn)，過(guò)B點(diǎn)作X軸的垂線交EP的延長(zhǎng)線于F點(diǎn)，利用三角形相似得出P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）利用△AMN∽△CDB，當(dāng)N在A點(diǎn)左邊時(shí)，當(dāng)N在A點(diǎn)右邊時(shí)，當(dāng)N在A點(diǎn)右邊時(shí)，當(dāng)N在A點(diǎn)左邊時(shí)分別得出即可．
解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx-3與x軸交于兩點(diǎn)A（1，0）、B（3，0），
∴0=a+b-3，0=9a+3b-3，
解得：a=-1，b=4，
∴y=-x²+4x-3；

（2）如圖1，過(guò)P作x軸的平行線交Y軸于E點(diǎn)，過(guò)B點(diǎn)作X軸的垂線交EP的延長(zhǎng)線于F點(diǎn)，
設(shè)P（t，-t²+4t-3），當(dāng)P點(diǎn)在第一象限時(shí)，則DE=-t²+4t，PF=3-t，PE=t，BF=-t²+4t-3，
可證△DEP∽△PFB，，，
可求得，
所以P（，），
同理，當(dāng)P點(diǎn)在第四象限時(shí)，可求得P（，）；

（3）如圖2，設(shè)N（m，0）則M（m，-m²+4m-3），MN=m²-4m+3
若△AMN∽△CDB，，
當(dāng)N在A點(diǎn)左邊時(shí)AN=1-m，，
m=0或m=1（舍），所以M（0，-3），
當(dāng)N在A點(diǎn)右邊時(shí)AN=m-1，，
m=6或m=1（舍），所以M（6，-15），
若△MAN∽△CDB，，
當(dāng)N在A點(diǎn)左邊時(shí)AN=1-m，，
m=（舍）或m=1（舍），所以此時(shí)M不存在，
當(dāng)N在A點(diǎn)右邊時(shí)AN=m-1，，
m=或m=1（舍），
所以M（，），
綜上M₁（0，-3）M₂（6，-15）M₃（，）．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，（2）（3）小題中，都用到了分類討論的數(shù)學(xué)思想，難點(diǎn)在于考慮問(wèn)題要全面，做到不重不漏．