Question

如圖，在正方形ABCD中，E為AD的中點，DF⊥CE于M，交AC于點N，交AB于點F，連接EN、BM．有如下結論：①△ADF≌△DCE；②MN=FN；③CN=2AN；④S_△ADN：S_{四邊形CNFB}=2：5；⑤∠ADF=∠BMF．其中正確結論的個數為

1. A.
   2個
2. B.
   3個
3. C.
   4個
4. D.
   5個

Answer 1

C
分析：①本題需先根據已知條件，得出△ADF與△DCE相似，即可得出結果．
②本題需先根據AE=AF，∠NAF=∠NAE，AN=AN這三個條件，得出△ANF≌△ANE，即可得出結論．
③本題需先根據AF∥CD，得出CN與AN的比值，即可求出結果．
④本題需先連接CF，再設S_△ANF=1，即可得出S_△ADN與S_{四邊形CNFB}的比值即可．
⑤在△DEN和△MFB中，根據已知條件，得出△DEN與△MFB全等，即可得出結果．
解答：①在△ADF和△DCE中，
，
∴△ADF≌△DCE，
故本選項正確；
②∵△ADF≌△DCE，
∴DE=AF，
∵AE=DE，
∴AE=AF，
在△ANF和△ANE中
，
∴△ANF≌△ANE，
∴NF=NE，
∵NM⊥CE，
∴NE＞MN，
∴NF＞MN，
∴MN=FN錯誤，
故本選項錯誤；
③∵AF∥CD，
∴∠CDN=∠NFA，∠DCN=∠NAF，
∴△DCN∽△FAN，
又∵△ADF≌△DCE，且四邊形ABCD為正方形，
∴AF=AB=DC，
∴，
∴CN=2AN，
故本選項正確；
④連接CF，
設S_△ANF=1，
則S_△ACF=3，S_△ADN=2，
∴S_△ACB=6，
∴S_{四邊形CNFB}=5，
∴S_△ADN：S_{四邊形CNFB}=2：5，
故本選項正確；
⑤延長DF與CB交于G，則∠ADF=∠G，
根據②的結論F為AB中點，即AF=BF，
在△DAF與△GBF中，
，
∴△DAF≌△GBF（AAS），
∴BG=AD，又AD=BC，
∴BC=BG，
又∵∠ADF=∠DCE，∠ADF+∠CDM=90°，
∴∠DCE+∠CDM=90°，
∴∠DMC=∠CMG=90°，
∴△CMG是直角三角形，
∴MB=BG=BC（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半），
∴∠G=∠BMF，
因此∠ADF=∠BMF，故選項正確．
所以正確的有①③④⑤共4個．
故選C．
點評：本題主要考查了正方形的性質問題，在解題時要注意全等三角形、相似等知識的綜合利用，在做題時要結合圖形是解題的關鍵．