Question

在平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)A（0，2）C（4，0），AB∥x軸，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°．
（1）求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，并求出過A，B，C三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)解析式；
（2）將△ABC直線AB翻折，得到△ABC₁，再將△ABC₁繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，得到△AB₁C₂．請(qǐng)求出點(diǎn)C₂的坐標(biāo)，并判斷點(diǎn)C₂是否在題（1）所求的拋物線的圖象上；
（3）將題（1）中的拋物線平移得到新的拋物線的函數(shù)解析式為y=ax²-mx+2m，并使拋物線的頂點(diǎn)落在△ABC的內(nèi)部或者邊上，請(qǐng)求出此時(shí)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）過C作CD⊥AB于D，根據(jù)A、C的坐標(biāo)，易求得AD、CD的長，在Rt△ACB中，CD⊥AB，利用射影定理可求得BD的長（也可利用相似三角形得到），由此求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，進(jìn)而可利用待定系數(shù)法求得拋物線的解析式；
（2）根據(jù)△ABC的兩次旋轉(zhuǎn)變化可知AB₁落在y軸上，可過C₂作C₂D₁⊥AB₁，根據(jù)△ACD≌△AC₂D₁得AD₁、CD₁的長，從而求出點(diǎn)C₂的坐標(biāo)，然后將其代入拋物線的解析式中進(jìn)行驗(yàn)證即可；
（3）在（1）題中求得了拋物線的二次項(xiàng)系數(shù)，即可用m表示出平移后的拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)，得(m，

4m-m2

2

)，由于此頂點(diǎn)在△ACB的邊上或內(nèi)部，因此頂點(diǎn)橫坐標(biāo)必在0≤m≤5的范圍內(nèi)，然后分三種情況考慮：
①頂點(diǎn)縱坐標(biāo)應(yīng)小于或等于A、B的縱坐標(biāo)．
②求出直線AC和直線x=m的交點(diǎn)縱坐標(biāo)，那么頂點(diǎn)縱坐標(biāo)應(yīng)該大于等于此交點(diǎn)縱坐標(biāo)．
③求出直線BC和直線x=m的交點(diǎn)縱坐標(biāo)，方法同②．
結(jié)合上面四個(gè)不等關(guān)系式，即可得到m的取值范圍．

解答：解：（1）作CD⊥AB交AB于點(diǎn)D；
由△ACD∽△BCD得到BD=1，所以AB=5，
又因?yàn)锳B∥x軸，
所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，2）（2分）
設(shè)函數(shù)解析式為：y=ax²+bx+c，把A，B，C三點(diǎn)代入得：
a=

1

2

，b=-

5

2

，c=2
所以y=

1

2

x2-

5

2

x+2；（3分）

（2）作C₂D₁⊥AB₁；
由△ACD≌△AC₂D₁得：
C₂D₁=2，AD₁=4，
所以C₂（-2，6）（2分）
把x=-2代入得y=9，
所以點(diǎn)C₂不在拋物線上；（1分）

（3）由題（1）可知a=

1

2

，
所以頂點(diǎn)坐標(biāo)為(m，

4m-m2

2

)；（1分）
直線AC的解析式為y=-

1

2

x+2，把x=m代入
得y=-

1

2

m+2，
直線BC的解析式為y=2x-8，把x=m代入
得y=2m-8，
因?yàn)轫旤c(diǎn)在三角形內(nèi)部或者邊上，
所以0≤m≤5，
①

4m-m2

2

≤2，解得m可以取任意實(shí)數(shù)；
②-

1

2

m+2≤

4m-m2

2

，解得1≤m≤4（可以圖象法解）；
③2m-8≤

4m-m2

2

，解得-4≤m≤4；
得出其中任意2個(gè)不等式給（1分），4個(gè)（2分）
所以m的取值范圍是1≤m≤4．（1分）

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了圖形旋轉(zhuǎn)變化、相似及全等三角形的判定和性質(zhì)、二次函數(shù)解析式的確定以及函數(shù)圖象的平移，同時(shí)還涉及到簡單線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用，難度較大．