Question

（2012•義烏市模擬）如圖，邊長為4的等邊△AOB的頂點O在坐標原點，點A在x軸正半軸上，點B在第一象限．一動點P沿x軸以每秒1個單位長度的速度由點O向點A勻速運動，當點P到達點A時停止運動，設(shè)點P運動的時間是t秒．在點P的運動過程中，線段BP的中點為點E，將線段PE繞點P按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得PC． 
（1）當點P運動到線段OA的中點時，點C的坐標為

（

7

2

，

3

2

）

；
（2）在點P從點O到點A的運動過程中，用含t的代數(shù)式表示點C的坐標；
（3）在點P從點O到點A的運動過程中，求出點C所經(jīng)過的路徑長．

Answer 1

分析：（1）過點作CD⊥x軸于點D，先由等邊三角形的性質(zhì)求出P點坐標及BP的長，故可得出PE的長，由圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出PC=PE及∠CPD的度數(shù)，再由銳角三角函數(shù)的定義即可求出PD及CD的長，進而可得出結(jié)論；
（2）過P作PD⊥OB于點D，過C作CF⊥PA于點F，在Rt△OPD中  PD=OP•sin60°=

3

2

t，由相似三角形的判定定理得出△BPD∽△PCF，故可得出CF及PF的長，進而可得出C點坐標；
（3）取OA的中點M，連接MC，由（2）得CF=

3

4

t，MF=

3

4

t，由銳角三角函數(shù)的定義得出∠CMF=30°，可知點C在直線MC上運動．故當點P在點O時，點C與點M重合．
當點P運動到點A時，點C的坐標為（5，

3

），由兩點間的距離公式即可得出結(jié)論．

解答：解：（1）如圖1，過點作CD⊥x軸于點D，
∵△AOB是等邊三角形，P是OA的中點，
∴P（2，0），BP=OB•sin60°=4×

3

2

=2

3

，
∵E是BP的中點，
∴PE=

3

，
∴PE=PC=

3

，
∵∠BPC=60°，
∴∠CPA=30°，
∴PD=PC•cos30°=

3

×

3

2

=

3

2

，CD=PC•sin30°=

3

×

1

2

=

3

2

，
∴OD=OP+PD=2+

3

2

=

7

2

，
∴C（

7

2

，

3

2

）；

（2）如圖2，過P作PD⊥OB于點D，過C作CF⊥PA于點F
在Rt△OPD中  PD=OP•sin60°=

3

2

t，
∵∠OBP+∠OPB=∠CPF+∠OPB=120°
∴∠DBP=∠FPC，
∵∠PDB=∠CFP=90°
∴△BPD∽△PCF，
∴CF=

1

2

DP=

3

4

t，PF=

1

2

BD=2-

1

4

t
∴點C的坐標是（2+

3

4

t，

3

4

t）；        

（3）取OA的中點M，連接MC，由（2）得CF=

3

4

t，MF=

3

4

t．
∴tan∠CMF=

3 4 t

3 4 t

=

3

3

∴∠CMF=30°．
∴點C在直線MC上運動．
當點P在點O時，點C與點M重合．
當點P運動到點A時，點C的坐標為(5，

3

)
∴點C所經(jīng)過的路徑長為2

3

．

點評：本題考查的是相似形綜合題及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．