Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=16cm，AB=12cm，BC=21cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿射線BC的方向以每秒2cm的速度運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)返回，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，在線段AD上以每秒1cm的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)B，A同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)P隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）．
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PQDC是平行四邊形；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，以C，D，Q，P為頂點(diǎn)的梯形面積等于60cm²？
（3）是否存在點(diǎn)P，使△PQD是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有滿足要求的t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意已知，AD∥BC，要使四邊形PQDC是平行四邊形，則只需要讓QD=PC即可，因?yàn)镼、P點(diǎn)的速度
已知，AD、BC的長度已知，要求時(shí)間，用時(shí)間=路程÷速度，即可求出時(shí)間；
（2）要使以C、D、Q、P為頂點(diǎn)的梯形面積等于60cm²，可以分為兩種情況，即點(diǎn)P、Q在BC、AD，點(diǎn)P在
BC延長線上，再利用梯形面積公式，即（QD+PC）×AB÷2=60，因?yàn)镼、P點(diǎn)的速度已知，AD、AB、
BC的長度已知，用t可分別表示QD、BC的長，即可求得時(shí)間t；
（3）使△PQD是等腰三角形，可分三種情況，即PQ=PD、PQ=QD、QD=PD；可利用等腰三角形及直角梯形的
性質(zhì)，分別用t表達(dá)等腰三角形的兩腰長，再利用兩腰相等即可求得時(shí)間t．
解答：解：（1）∵四邊形PQDC是平行四邊形
∴DQ=CP
當(dāng)P從B運(yùn)動(dòng)到C時(shí)，
∵DQ=AD-AQ=16-t，
CP=21-2t
∴16-t=21-2t
解得t=5
當(dāng)P從C運(yùn)動(dòng)到B時(shí)，
∵DQ=AD-AQ=16-t，
CP=2t-21
∴16-t=2t-21，
解得t=，
∴當(dāng)t=5或秒時(shí)，四邊形PQDC是平行四邊形；


（2）若點(diǎn)P、Q在BC、AD上時(shí)，

即
解得t=9（秒）
若點(diǎn)P在BC延長線上時(shí)，則CP=2t-21，
則
解得t=15（秒）．
故當(dāng)t=9或15秒時(shí)，以C，D，Q，P為頂點(diǎn)的梯形面積等60cm²；


（3）當(dāng)PQ=PD時(shí)
作PH⊥AD于H，則HQ=HD
∵QH=HD=QD=（16-t）
由AH=BP得
解得秒；
當(dāng)PQ=QD時(shí)QH=AH-AQ=BP-AQ=2t-t=t，QD=16-t，
∵QD²=PQ²=t²+12²
∴（16-t）²=12²+t²
解得（秒）；
當(dāng)QD=PD時(shí)DH=AD-AH=AD-BP=16-2t，
∵QD²=PD²=PH²+HD²=12²+（16-2t）²
∴（16-t）²=12²+（16-2t）²
即3t²-32t+144=0
∵△＜0，
∴方程無實(shí)根，
綜上可知，當(dāng)秒或秒時(shí)，△PQD是等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直角梯形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、梯形的面積、等腰三角形的性質(zhì)，特別應(yīng)該注意要全面考慮各種情況，不要遺漏．