【題目】如圖,直線y=﹣x+分別與x軸、y軸交于B、C兩點(diǎn),點(diǎn)A在x軸上,∠ACB=90°,拋物線y=ax2+bx+經(jīng)過A,B兩點(diǎn).
(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)求拋物線的解析式;
(3)點(diǎn)M是直線BC上方拋物線上的一點(diǎn),過點(diǎn)M作MH⊥BC于點(diǎn)H,作MD∥y軸交BC于點(diǎn)D,求△DMH周長的最大值.
【答案】(1)(﹣1,0)(2)y=﹣x2+x+ (3)
【解析】
試題分析:(1)由直線解析式可求得B、C坐標(biāo),在Rt△BOC中由三角函數(shù)定義可求得∠OCB=60°,則在Rt△AOC中可得∠ACO=30°,利用三角函數(shù)的定義可求得OA,則可求得A點(diǎn)坐標(biāo);
(2)由A、B兩點(diǎn)坐標(biāo),利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式;
(3)由平行線的性質(zhì)可知∠MDH=∠BCO=60°,在Rt△DMH中利用三角函數(shù)的定義可得到DH、MH與DM的關(guān)系,可設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo),則可表示出DM的長,從而可表示出△DMH的周長,利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值.
試題解析: (1)∵直線y=﹣x+分別與x軸、y軸交于B、C兩點(diǎn),
∴B(3,0),C(0,),
∴OB=3,OC=,
∴tan∠BCO==,
∴∠BCO=60°,
∵∠ACB=90°,
∴∠ACO=30°,
∴=tan30°=,即=,解得AO=1,
∴A(﹣1,0);
(2)∵拋物線y=ax2+bx+經(jīng)過A,B兩點(diǎn),
∴ ,解得 ,
∴拋物線解析式為y=﹣x2+x+;
(3)∵MD∥y軸,MH⊥BC,
∴∠MDH=∠BCO=60°,則∠DMH=30°,
∴DH=DM,MH=DM,
∴△DMH的周長=DM+DH+MH=DM+DM+DM=DM,
∴當(dāng)DM有最大值時(shí),其周長有最大值,
∵點(diǎn)M是直線BC上方拋物線上的一點(diǎn),
∴可設(shè)M(t,﹣ t2+t+),則D(t,﹣ t+),
∴DM=﹣t2+t+),則D(t,﹣ t+),
∴DM=﹣t2+t+﹣(﹣t+)=﹣t2+t=﹣(t﹣)2+ ,
∴當(dāng)t=時(shí),DM有最大值,最大值為,
此時(shí)DM=×=,
即△DMH周長的最大值為.
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(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式;
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【題目】數(shù)學(xué)課上,張老師出示了問題:如圖1,、是四邊形的對(duì)角線,若,則線段,,三者之間有何等量關(guān)系?
經(jīng)過思考,小明展示了一種正確的思路:如圖2,延長到,使,連接,證得,從而容易證明是等邊三角形,故,所以.
小亮展示了另一種正確的思路:如圖3,將繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),使與重合,從而容易證明是等比三角形,故,所以.
在此基礎(chǔ)上,同學(xué)們作了進(jìn)一步的研究:
(1)小穎提出:如圖4,如果把“”改為“”,其它條件不變,那么線段,,三者之間有何等量關(guān)系?針對(duì)小穎提出的問題,請(qǐng)你寫出結(jié)論,并給出證明.
(2)小華提出:如圖5,如果把“”改為“”,其它條件不變,那么線段,,三者之間有何等量關(guān)系?針對(duì)小華提出的問題,請(qǐng)你寫出結(jié)論,不用證明.
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【題目】在數(shù)軸上,表示﹣17的點(diǎn)與表示﹣10的點(diǎn)之間的距離是( )
A.27個(gè)單位長度
B.﹣27個(gè)單位長度
C.7個(gè)單位長度
D.﹣7個(gè)單位長度
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