Question

已知關(guān)于x的一元二次方程x²+（m-2）x-m-1=0．
（1）求證：無論m取何值時(shí)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）若這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x₁、x₂，滿足x₁²+x₂²=41，求m的值．

Answer 1

解：（1）∵△=（m-2）²+4（m+1）=m²-4m+4+4m+4=m²+8＞0，
∴無論m取何值時(shí)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

（2）∵這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x₁、x₂，
∴x₁+x₂=-（m-2），x₁•x₂=-m-1，
而x₁²+x₂²=41，
∴（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=41，
∴（m-2）²+2m+2=41，
∴m²-4m+4+2m-39=0，
m²-2m-35=0，
∴m=-5或7．
分析：（1）由于無論m取何值時(shí)，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以證明判別式是正數(shù)即可；
（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系可以得到如果把所求代數(shù)式利用完全平方公式變形，結(jié)合前面的等式即可 求解．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用，同時(shí)考查了學(xué)生的綜合應(yīng)用能力及推理能力．