Question

使得n+1能整除n²⁰⁰⁶+2006的正整數(shù)n共有

5

個(gè)．

Answer 1

分析：首先由n²⁰⁰⁶-1=（n¹⁰⁰³+1）（n¹⁰⁰³-1）=（n+1）（n¹⁰⁰²-n¹⁰⁰¹+…-n+1）（n¹⁰⁰³-1），可得n+1能整除n²⁰⁰⁶-1，則可將原式變形為：（n²⁰⁰⁶-1）+2007，再將2007分解質(zhì)因數(shù)，即可求得符合條件的正整數(shù)．

解答：解：∵n²⁰⁰⁶-1=（n¹⁰⁰³+1）（n¹⁰⁰³-1）=（n+1）（n¹⁰⁰²-n¹⁰⁰¹+…-n+1）（n¹⁰⁰³-1），
∴n+1能整除n²⁰⁰⁶-1，
∵n²⁰⁰⁶+2006=（n²⁰⁰⁶-1）+2007，
∴則n+1能整除2007，
∵2007=3×3×223，
∴有5個(gè)大于1的因子：3，9，223，669，2007．
∴使得n+1能整除n²⁰⁰⁶+2006的正整數(shù)n共有5個(gè)．
故答案為：5．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了數(shù)的整除性問題．解題的關(guān)鍵是將所知數(shù)分解質(zhì)因數(shù)．