Question

【題目】如圖1，一次函數(shù)y=2x+4與x軸，y軸分別相交于A，B兩點(diǎn)，一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸圍成的△ABO，我們稱它為此一次函數(shù)的坐標(biāo)三角形．把坐標(biāo)三角形面積分成相等的二部分的直線叫做坐標(biāo)三角形的等積線．

（1）求此一次函數(shù)的坐標(biāo)三角形周長以及過點(diǎn)A的等積線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）如圖2，我們把第一個坐標(biāo)三角形△ABO記為第一代坐標(biāo)三角形．第一代坐標(biāo)三角形的等積線BA1，AB1記為第一對等積線，它們交于點(diǎn)O1，四邊形A1OB1O1稱為第一個坐標(biāo)四邊形．求點(diǎn)O1的坐標(biāo)和坐標(biāo)四邊形A1OB1O1面積；

（3）如圖3．第一對等積線與坐標(biāo)軸構(gòu)成了第二代坐標(biāo)三角形△BA1O．△AOB1分別過點(diǎn)A，B作一條平分△BA1O，△AOB1面積的第二對等積線BA2，AB2，相交于點(diǎn)O2，如此進(jìn)行下去．…，請直接寫出On的坐標(biāo)和第n個坐標(biāo)四邊形面積（用n表示）．

Answer 1

【答案】（1）周長為6+2；等積線的函數(shù)表達(dá)式：y=x+2；（2）；（3）.

【解析】試題分析：（1）令y=0求出x的值，令x=0求出x的值，從而得到點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，再求出OA、OB的長，然后利用勾股定理列式求出AB，再根據(jù)三角形的周長公式列式計(jì)算即可得解；根據(jù)等積線的定義求出A1、B1的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式解答；

（2）聯(lián)立兩等積線解析式求解即可得到O1的坐標(biāo)，再根據(jù)坐標(biāo)四邊形A1OB1O1面積=S△AOB1-S△AA1O1，列式計(jì)算即可得解；

（3）根據(jù)等積線的定義求出OAn、OBn，從而得到An、Bn的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法寫出ABn、BAn的解析式，聯(lián)立求解即可得到點(diǎn)On的坐標(biāo)，再根據(jù)坐標(biāo)四邊形面積=S△AOBn-S△AAnOn，列式計(jì)算即可得解．

試題解析：（1）令y=0，則2x+4=0，

解得，x=﹣2，

令x=0，則y=4，

∴點(diǎn)A（﹣2，0），B（0，4），

∴OA=2，OB=4，

由勾股定理得，AB=

所以，周長為6+2

∵AB1、BA1是等積線，

∴A1（﹣1，0），B1（0，2），

∴等積線的函數(shù)表達(dá)式：y=x+2；

（2）聯(lián)立

解得，

∴O1（， ），

坐標(biāo)四邊形A1OB1O1面積=S△AOB1﹣S△AA1O1，

=×2×2﹣×（2﹣1）×，

=2﹣，

=；

（3）由題意得，OAn=，OBn=，

所以，等積線BAn的解析式為：y=2n+1x+4，

ABn的解析式為：y=x+，

聯(lián)立，解得，

∴點(diǎn)On（﹣， ），

坐標(biāo)四邊形面積=S△AOBn﹣S△AAnOn，

=×2×﹣×（2﹣）×，

=﹣，

=，

=．