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如圖所示,菱形ABCD的邊長為6厘米,∠B=60度.從初始時刻開始,點P、Q同時從A點出發(fā),點P以1厘米/秒的速度沿A→C→B的方向運動,點Q以2厘米/秒的速度沿A→B→C→D的方向運動,當點Q運動到D點時,P、Q兩點同時停止運動,設P、Q運動的時間為x秒時,△APQ與△ABC重疊部分的面積為y平方厘米(這里規(guī)定:點和線段是面積為O的三角形),解答下列問題:
(1)點P、Q從出發(fā)到相遇所用時間是______秒;
(2)點P、Q從開始運動到停止的過程中,當△APQ是等邊三角形時x的值是______秒;
(3)求y與x之間的函數關系式.

解:(1)∵四邊形ABCD是菱形
∴AB=BC
又∵∠B=60°,
∴△ABC是等邊三角形,
因而邊長是6.設點P,Q從出發(fā)到相遇所用的時間是x秒.
根據題意得到x+2x=18,解得x=6秒.

(2)若△APQ是等邊三角形,
此時點P在BC上,點Q在CD上,且△ADQ≌△ACP,
則CP=DQ,即x-6=18-2x,解得x=8;

(3)①當0≤x<3時,
y=S△AP1Q1==
②當3≤x<6時,
y=S△AP2Q2
=
=sin60°
=
=-x
③當6≤x≤9時,設P3Q3與AC交于點O.
(解法一)
過Q3作Q3E∥CB交AC于E,則△CQ3E為等邊三角形.
∴Q3E=CE=CQ3=2x-12
∵Q3E∥CB
∴△COP3∽△EOQ3

∴OC=(2x-12)
y=S△AOP3
=S△ACP3-S△COP3
=sin60°
=
=-;
(解法二)
如圖,過點O作OF⊥CP3于點F,OG⊥CQ3,于點G,
過點P3作P3H⊥DC交DC延長線于點H.
∵∠ACB=∠ACD
∴OF=OG
又CP3=x-6,CQ3=2x-12=2(x-6),
∴S△COP3=





又S△ACP3=×AC×sin60°
=
=(x-6)

=
=
=-
分析:(1)菱形ABCD的邊長為6厘米,∠B=60°,則易證△ABC是等邊三角形,邊長是6厘米.點P、Q從出發(fā)到相遇,即兩人所走的路程的和是18cm.設從出發(fā)到相遇所用的時間是x秒.列方程就可以求出時間.
(2)當P在AC上,Q在AB上時,AP≠AQ,則一定不是等邊三角形,當△APQ是等邊三角形時,Q一定在邊CD上,P一定在邊CB上,若△APQ是等邊三角形,則CP=DQ,根據這個相等關系,就可以得到一個關于x的方程,就可以得到x的值.
(3)求y與x之間的函數關系式.應根據0≤x<3和3≤x<6以及6≤x≤9三種情況進行討論.把x當作已知數值,就可以求出y.就可以得到函數的解析式.
點評:本題主要考查了利用圖形的關系求函數的解析式.注意數形結合是解決本題的關鍵.
練習冊系列答案
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23、如圖所示,在△ABC中,AD⊥BC于點D,E,F分別是AB,AC邊的中點,連接DE,EF,FD,當△ABC滿足條件
AB=AC(或∠B=∠C,或BD=DC)
時,四邊形AEDF是菱形.(填一個你認為恰當的條件即可)

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30、如圖所示,以△ABC的三邊為邊,分別作三個等邊三角形.
(1)求證四邊形ADEF是平行四邊形;
(2)△ABC滿足什么條件時,四邊形ADEF是菱形是矩形?
(3)這樣的平行四邊形ADEF是否總是存在?

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精英家教網已知:如圖所示,在△ABC中,D、E、F分別是AB、BC、AC邊上的中點.
(1)求證:四邊形ADEF是平行四邊形.
(2)若AB=AC,求證:四邊形ADEF是菱形.

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49、如圖所示,在△ABC中,AB=AC,P為BC的中點,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,EM⊥AC于M,FN⊥AB于N,EM與FN相交于點Q,那么四邊形PEQF是菱形嗎?說明你的理由.

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26、如圖所示,Rt△ABC中,∠BAC=Rt∠,AD⊥BC于點D,∠ABC的平分線交AD于O,交AC于E,OG∥AC交BC于G.
(1)求證:∠1=∠2.
(2)求證:△BAO≌△BGO.
(3)求證:四邊形AOGE是菱形.

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