Question

如圖，已知AB=3，BC=7，CD=5

2

．且AB⊥BC，∠BCD=135°．點(diǎn)M是線段BC上的一個動點(diǎn)，連接AM、DM．點(diǎn)M在運(yùn)動過程中，
①當(dāng)AM+DM的值最小時(shí)，BM=

9

2

；
②當(dāng)AM²+DM²的值最小時(shí)，BM=

6

．

Answer 1

分析：（1）延長AB到E，使BE=AB，連接ED交BC于M，連接AM，則此時(shí)AM+DM的值最小，過D作DF⊥BC交BC延長線于F，求出DF，根據(jù)相似求出BM即可；
（2）根據(jù)勾股定理得出AM²=AB²+BM²=3²+x²，DM²=DF²+FM²=5²+（5+7-x）²，相加即可求出答案．

解答：解：（1）延長AB到E，使BE=AB，連接ED交BC于M，連接AM，則此時(shí)AM+DM的值最小，過D作DF⊥BC交BC延長線于F，
∵∠BCD=135°，
∴∠DCF=45°，
∵CD=5

2

，
則CF=CD×cos45°=5，
DF=CF=5，
∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF，
∴△BEM∽△FDM，
∴

BE

DF

=

BM

MF

．
∴

BM

5+7-BM

=

3

5

，
∴BM=

9

2

，

（2）設(shè)BM=x，
在Rt△ABM中，AM²=AB²+BM²=3²+x²，
∵在Rt△DFM中，DM²=DF²+FM²=5²+（5+7-x）²，
∴AM²+DM²
=9+x²+25+（12-x）²
=2x²-24x+178
=2（x-6）²+106，
∵2＞0，
∴AM²+DM²有最小值，當(dāng)x=6時(shí)，最小值是106，
故答案為：

9

2

；6．

點(diǎn)評：本題考查了軸對稱-最短路線問題，勾股定理，二次函數(shù)的最值，相似三角形的性質(zhì)和判定，關(guān)鍵是找出符合條件的點(diǎn)，題目比較好．