Question

如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax²+bx+c的對稱軸為直線x=-

3

2

，拋物線與x軸的交點為A，B，與y軸交于點C．拋物線的頂點為M，直線MC的解析式是y=

3

4

x-2．
（1）求頂點M的坐標；
（2）求拋物線的解析式；
（3）以線段AB為直徑作⊙P，判斷直線MC與⊙P的位置關系，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）將拋物線的對稱軸線直線MC的解析式是y=

3

4

x-2聯立即可解得頂點M的坐標；
（2）先求出C點坐標，在根據M、C兩點坐標即可求得拋物線的解析式；
（3）連接PC，過M作MN⊥y軸于N，求得PM²=MC²+PC²即可證明直線MC與⊙P相切．

解答：解：（1）把x=-

3

2

代入y=

3

4

x-2中得，
y=

3

4

×(-

3

2

)-2=-

25

8

，
∴點M的坐標為（-

3

2

，-

25

8

）；（2分）

（2）把x=0代入y=

3

4

x-2中得y=-2，即點C的坐標為（0，-2），
由題意可設拋物線的解析式為y=a(x+

3

2

)2-

25

8

，
把（0，-2）代入得-2=

9

4

a-

25

8

，
即a=

1

2

，
∴拋物線的解析式為y=

1

2

(x+

3

2

)2-

25

8

=

1

2

x2+

3

2

x-2；（6分）

（3）如圖，連接PC，過M作MN⊥y軸于N，
則OP=

3

2

，OC=2，MN=

3

2

，NC=

9

8

，
∴PC=

OP2+OC2

=

9 4 +4

=

5

2

，
∴PC=

1

2

AB，即點C在圓上，（8分）
∵PM2=(

25

8

)2=

625

64

，MC2=MN2+NC2=

9

4

+

81

64

=

225

64

PC2=

25

4

=

400

64

，
∴PM²=MC²+PC²
∴PC⊥MC，即直線MC與⊙P相切．（12分）

點評：本題是二次函數的綜合題，題中涉及圓與直線的位置關系等知識點，解題時要注意數形結合數學思想的運用，是各地中考的熱點和難點，同學們要加強訓練，屬于中檔題．