Question

已知一條拋物線經過A（0，3），B（4，6）兩點，對稱軸是x=

5

3

．
（1）求這條拋物線的關系式；
（2）證明：這條拋物線與x軸的兩個交點中，必存在點C，使得對x軸上任意點D都有AC+BC≤AD+BD．

Answer 1

分析：（1）先設出函數的解析式：y=ax²+bx+c，根據拋物線經過A（0，3），B（4，6）兩點，用待定系數法求出函數的解析式；
（2）令y=0，得到方程，根據方程根與系數的關系求出拋物線與x軸的兩個交點，再根據三角形任意兩邊之和大于第三邊，來證明．

解答：（1）解：設所求拋物線的關系式為y=ax²+bx+c，
∵A（0，3），B（4，6），對稱軸是直線x=

5

3

，
∴

c=3 16a+4b+c=6 - b 2a = 5 3

，
解得

a= 9 8 b=- 15 4 c=3

∴y=

9

8

x2-

15

4

x+3．

（2）證明：令y=0，得

9

8

x2-

15

4

x+3=0，
∴x1=

4

3

•x2=2，
∵A（0，3），取A點關于x軸的對稱點E，
∴E（0，-3），
設直線BE的關系式為y=kx-3，把B（4，6）代入上式，得6=4k-3，
∴k=

9

4

，
∴y=

9

4

x-3，
由

9

4

x-3=0，
得x=

4

3

．
故C為(

4

3

，0)，C點與拋物線在x軸上的一個交點重合，
在x軸上任取一點D，在△BED中，BE＜BD+DE．
又∵BE=EC+BC，EC=AC，ED=AD，
∴AC+BC＜AD+BD，
若D與C重合，則AC+BC=AD+BD，
∴AC+BC≤AD+BD．

點評：（1）第一問主要考查用待定系數法求出函數的解析式，還運用了對稱軸公式；
（2）此題主要考查一元二次方程與函數的關系，函數與x軸的交點的橫坐標就是方程的根，另外用到了三角形兩邊之和大于第三邊這一定理．