Question

在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=4，O是BC邊上的點(diǎn)且⊙O與AB、AC都相切，切點(diǎn)分別為D、E．
（1）求⊙O的半徑；
（2）如果F為上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與D、E），過點(diǎn)F作⊙O的切線分別與邊AB、AC相交于G、H，連接OG、OH，有兩個(gè)結(jié)論：①四邊形BCHG的周長不變，②∠GOH的度數(shù)不變．已知這兩個(gè)結(jié)論只有一個(gè)正確，找出正確的結(jié)論并證明；
（3）探究：在（2）的條件下，設(shè)BG=x，CH=y，試問y與x之間滿足怎樣的函數(shù)關(guān)系，寫出你的探究過程并確定自變量x的取值范圍，并說明當(dāng)x=y時(shí)F點(diǎn)的位置．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OD、OE、OA；構(gòu)造正方形和直角三角形，利用勾股定理和正方形的性質(zhì)解答；
（2）連接OF、OG、OH；根據(jù)切線長定理和圓的半徑相等，構(gòu)造全等三角形，即△DOG≌△FOG，△FOH≌△EOH；得到相等的角∠DOG=∠FOG，∠FOH=∠EOH；進(jìn)而得到∠GOH==45°；
（3）當(dāng)x=y時(shí)，有AG=AH，根據(jù)平行線分線段成比例定理的逆定理，判定GH∥BC，根據(jù)切線性質(zhì)，判斷F為AO與圓的交點(diǎn)同時(shí)F是的中點(diǎn)．
解答：解：（1）連接OD、OE、OA，
∵O是BC邊上的點(diǎn)且⊙O與AB、AC都相切，
∴OD⊥AB，AC⊥OE，
又∵∠BAC=90°，且OD=OE，
∴四邊形ADOE為正方形，
∴OE=AE，
∴∠OAE=45°；
又∵∠C=45°，
∴OE=2，△OAC為等腰直角三角形，
AE=EC=AC=×4=2，即⊙O的半徑是2；

（2）②的結(jié)論正確；理由如下：
連接OF、OG、OH，
由題意，GD、GF以及HF、HE與圓相切，
所以GD=GF，HE=HF，∠DOG=∠FOG，∠FOH=∠HOE，
而∠DOE=90°，所以可以得到∠GOH==45°．

（3）BG=x，CH=y，
易得：GF=GD=x-2，F(xiàn)H=HE=y-2，AG=4-x，AE=4-y，
所以GH=x+x-4，
由∠A=90°，可得GH²=AG²+AH²，代入上述各數(shù)值，
化簡(jiǎn)可得y=，由AG≥0，AE≥0，可得x≤0，y≤4，所以2≤x≤4，
當(dāng)x=y時(shí)，有AG=AH，由于AB=AC所以可得GH與BC平行，連接AO，
設(shè)AO交GH于F'，有∠OFH=90°，
所以F'為切點(diǎn)F，即F為AO與圓的交點(diǎn)同時(shí)F是的中點(diǎn)．
點(diǎn)評(píng)：本題是一道關(guān)于圓的綜合題，考查了切線的性質(zhì)、和圓相關(guān)的正方形的性質(zhì)、切線長定理以及結(jié)合切線長定理的點(diǎn)的存在性問題，范圍較廣，有一定的開放性，有利于培養(yǎng)同學(xué)們的發(fā)散思維能力．