Question

已知整數(shù)m滿(mǎn)足6＜m＜20，如果關(guān)于x的一元二次方程mx²-（2m-1）x+m-2=0有有理根，求m的值及方程的根．

Answer 1

分析：由題意得m≠0，若關(guān)于x的一元二次方程mx²-（2m-1）x+m-2=0有理根，則△≥0，并且△為完全平方數(shù)．而△=（2m-1）²-4m×（m-2）=4m+1，整數(shù)m滿(mǎn)足6＜m＜20，通過(guò)分析可得4m+1只能為49，這樣求的m的值，然后代入方程，最后解方程即可．

解答：解：根據(jù)題意得，m≠0，若方程有有理根，則△為完全平方數(shù)．
∵△=（2m-1）²-4m×（m-2）=4m+1，
又∵整數(shù)m滿(mǎn)足6＜m＜20，
∴4m+1=49，即m=12．
則原方程變?yōu)椋?2x²-23x+10=0，
∴x=

23± 49

2×12

=

23±7

24

，
∴x₁=

2

3

，x₂=

5

4

．
故m=12，此時(shí)方程的解為x₁=

2

3

，x₂=

5

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）的根的判別式△=b²-4ac．當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．也考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）的根為有理根的條件判別式為完全平方數(shù)．