Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線與拋物線交于A、B兩點，點A在x軸上，點B的橫坐標為-8．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）點P是直線AB上方的拋物線上一動點（不與點A、B重合），過點P作x軸的垂線，垂足為C，交直線AB于點D，作PE⊥AB于點E．
①設△PDE的周長為l，點P的橫坐標為x，求l關于x的函數(shù)關系式，并求出l的最大值；
②連接PA，以PA為邊作圖示一側的正方形APFG．隨著點P的運動，正方形的大小、位置也隨之改變．當頂點F或G恰好落在y軸上時，直接寫出對應的點P的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用待定系數(shù)法求出b，c即可；
（2）①根據(jù)△AOM∽△PED，得出DE：PE：PD=3：4：5，再求出PD=y_P-y_D求出二函數(shù)最值即可；
②當點G落在y軸上時，由△ACP≌△GOA得PC=AO=2，即，解得，
所以得出P點坐標，當點F落在y軸上時，x=--x+，解得x=，可得P點坐標．
解答：解：（1）對于，當y=0，x=2．當x=-8時，y=-．
∴A點坐標為（2，0），B點坐標為．
由拋物線經過A、B兩點，
得
解得．
∴．

（2）①設直線與y軸交于點M，
當x=0時，y=．∴OM=．
∵點A的坐標為（2，0），∴OA=2．∴AM=．
∵OM：OA：AM=3：4：5．
由題意得，∠PDE=∠OMA，∠AOM=∠PED=90°，∴△AOM∽△PED．
∴DE：PE：PD=3：4：5．
∵點P是直線AB上方的拋物線上一動點，
∵PD⊥x軸，
∴PD兩點橫坐標相同，
∴PD=y_P-y_D=--x+-（x-）
=-x²-x+4，
∴
=．
∴．
∴x=-3時，l_最大=15．
②當點G落在y軸上時，如圖2，由△ACP≌△GOA得PC=AO=2，
即，解得，
所以，
如圖3，過點P作PN⊥y軸于點N，過點P作PS⊥x軸于點S，
由△PNF≌△PSA，
PN=PS，可得P點橫縱坐標相等，
故得當點F落在y軸上時，
x=--x+，解得x=，
可得，（舍去）．
綜上所述：滿足題意的點P有三個，分別是
．
點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應用以及相似三角形的判定以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，利用數(shù)形結合進行分析以及靈活應用相似三角形的判定是解決問題的關鍵．