Question

【題目】如圖，在矩形中，，，點從點出發(fā)向點運動，運動到點停止，同時，點從點出發(fā)向點運動，運動到點即停止，點、的速度都是每秒1個單位，連接、、．設點、運動的時間為秒

（1）當為何值時，四邊形是矩形；

（2）當時，判斷四邊形的形狀，并說明理由；

（3）直接寫出以為對角線的正方形面積為96時的值；

（4）求整個運動當中，線段掃過的面積是多少？

Answer 1

【答案】（1）當時，四邊形為矩形；（2）當時，四邊形為菱形，理由見解析；（3）或；（4）64

【解析】

（1）由矩形性質得出BC=AD=16，AB=CD=8，由已知可得，BQ=DP=t，AP=CQ=16-t，當BQ=AP時，四邊形ABQP為矩形，得出方程，解方程即可；
（2）t=6時，AQ=6，DP=6，得出CQ=16-6=10，AP=16-6=10，AP=CQ，AP∥CQ，四邊形AQCP為平行四邊形，在Rt△ABQ中，與勾股定理求出AQ==10，得出AQ=CQ，即可得出結論；
（3）分兩種情況：求出正方形的邊長為，則對角線PQ為，由勾股定理求出QM的長，由題意得出方程，解方程即可；
（4）連接AC、BD，AC、BC相交于點E，線段PQ掃過的面積=△AED的面積+△BEC的面積，即可得出結果．

解：（1）∵在矩形中，，，

∴，，

由已知可得，，，

在矩形中，，，

當時，四邊形為矩形，

∴，解得：，

∴當時，四邊形為矩形；

（2）四邊形為菱形；理由如下：

∵，

∴，，

∴，，

∴，，

∴四邊形為平行四邊形，

在Rt△ABQ中，，

∴，

∴平行四邊形為菱形，

∴當時，四邊形為菱形；

（3）∵正方形面積為96，

∴正方形的邊長為：，

∴；

分兩種情況：

①如圖1所示：作于，

則，，，

由勾股定理得：，

∵，

∴，解得：；

②如圖2所示：，，

∵，

∴，解得：；

綜上所述，以為對角線的正方形面積為96時的值為：或；

（4）連接、，、相交于點，

則整個運動當中，線段掃過的面積是：的面積的面積，如圖3所示：

∵△AED的面積△BEC的面積矩形的面積，

∴整個運動當中，線段掃過的面積矩形的面積．