Question

如圖，在平面直角坐標系中，Rt△ABC的斜邊AB在x軸上，點C在y軸上，∠ACB=90°，OA、OB的長分別是一元二次方程x²﹣25x+144=0的兩個根（OA＜OB），點D是線段BC上的一個動點（不與點B、C重合），過點D作直線DE⊥OB，垂足為E．

（1）求點C的坐標．

（2）連接AD，當AD平分∠CAB時，求直線AD的解析式．

（3）若點N在直線DE上，在坐標系平面內(nèi)，是否存在這樣的點M，使得C、B、N、M為頂點的四邊形是正方形？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）C（0，12）。

（2）。

（3）存在點M，使得C、B、N、M為頂點的四邊形是正方形，

點M的坐標是（28，16）或（14，14）或（﹣12，﹣4）或（2，﹣2）。

【解析】

試題分析：（1）解一元二次方程，求得OA、OB的長，證△AOC∽△COB，推出OC²=OA•OB，即可得出答案。

解x²﹣25x+144=0得x=9或x=16，

∵OA、OB的長分別是一元二次方程x²﹣25x+144=0的兩個根（OA＜OB），

∴OA=9，OB=16。

在Rt△AOC中，∠CAB+∠ACO=90°，

在Rt△ABC中，∠CAB+∠CBA=90°，

∴∠ACO=∠CBA。

∵∠AOC=∠COB=90°，∴△AOC∽△COB�！郞C²=OA•OB�！郞C=12，

∴C（0，12）。

（2）應用相似三角形求得點D 的坐標，應用待定系數(shù)法即可求得直線AD的解析式。

在Rt△AOC和Rt△BOC中，∵OA=9，OC=12，OB=16，∴AC=15，BC=20。

∵DE⊥AB，∴∠ACD=∠AED=90°。

又∵AD平分∠CAB，AD=AD，∴△ACD≌△AED�！郃E=AC=15。

∴OE=AE﹣OA=15﹣9=6，BE=10。

∵∠DBE=∠ABC，∠DEB=∠ACB=90°，∴△BDE∽△BAC。

∴，即，解得。

∴D（6，）。

設直線AD的解析式是y=kx+b，

將A（﹣9，0）和D（6，）代入得：

，解得。

∴直線AD的解析式是：。

（3）存在點M，使得C、B、N、M為頂點的四邊形是正方形。

① 以BC為對角線時，作BC的垂直平分線交BC于Q，交x軸于F，在直線FQ上取一點M，使∠CMB=90°，則符合此條件的點有兩個，

BQ=CQ=BC=10，

∵∠BQF=∠BOC=90°，∠QBF=∠CBO，

∴△BQF∽△BOC�！�。

∵BQ=10，OB=16，BC=20，∴BF=。

∴OF=16﹣=�！郌（，0）。

∵OC=12，OB=16，Q為BC中點，∴Q（8，6）。

設直線QF的解析式是y=ax+c，

代入得：，解得。

∴直線FQ的解析式是：。

設M的坐標是（x，），

根據(jù)CM=BM和勾股定理得：（x﹣0）²+（﹣12）²=（x﹣16）²+（﹣0）²，

解得x₁=14，x₂=2。

∴M的坐標是（14，14），（2，﹣2）。

②以BC為一邊時，過B作BM₃⊥BC，且BM₃=BC=20，過M₃Q⊥OB于Q，還有一點M₄，CM₄=BC=20，CM₄⊥BC，

則∠COB=∠M₃B=∠CBM₃=90°。

∴∠BCO+∠CBO=90°，

∠CBO+∠M₃BQ=90°。

∴∠BCO=∠M₃BQ。

∵在△BCO和△M₃BQ中，

，

∴△BCO≌△M₃BQ（AAS）。

∴BQ=CO=12，QM₃=OB=16，

OQ=16+12=28，

∴M₃的坐標是（28，16）。

同法可求出CT=OB=16，M₄T=OC=12，OT=16﹣12=4，

∴M₄的坐標是（﹣12，﹣4）。

綜上所述，存在點M，使得C、B、N、M為頂點的四邊形是正方形，

點M的坐標是（28，16）或（14，14）或（﹣12，﹣4）或（2，﹣2）。