Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰Rt△AOB的斜邊OB在x軸上，直線y=3x-4經(jīng)過(guò)等腰Rt△AOB的直角頂點(diǎn)A，交y軸于C點(diǎn)，雙曲線y=也經(jīng)過(guò)A點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)和k的值；
（2）若點(diǎn)P為x軸上一動(dòng)點(diǎn)．在雙曲線上是否存在一點(diǎn)Q，使得△PAQ是以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)的等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）過(guò)點(diǎn)A分別作AM⊥y軸于M點(diǎn)，AN⊥x軸于N點(diǎn)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，a），因?yàn)辄c(diǎn)A在直線y=3x-4上，即把A點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式即可算出a的值，進(jìn)而得到A點(diǎn)坐標(biāo)，然后再利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式；
（2）如果過(guò)B作BQ⊥x軸交雙曲線于Q點(diǎn)，連接AQ，過(guò)A點(diǎn)作AP⊥AQ交x軸于P點(diǎn)．由ASA易證△AOP≌△ABQ，得出AP=AQ，那么△APQ是所求的等腰直角三角形．根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及函數(shù)圖象與點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系得出結(jié)果．
解答：解：（1）過(guò)點(diǎn)A分別作AM⊥y軸于M點(diǎn)，AN⊥x軸于N點(diǎn)，
∵△AOB是等腰直角三角形，
∴AM=AN．
設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，a），
∵點(diǎn)A在直線y=3x-4上，
∴a=3a-4，
解得a=2，
則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，2），
∵雙曲線y=也經(jīng)過(guò)A點(diǎn)，
∴k=4；

（2）假設(shè)雙曲線上存在一點(diǎn)Q，使得△PAQ是等腰直角三角形．
過(guò)B作BQ⊥x軸交雙曲線于Q點(diǎn)，連接AQ，過(guò)A點(diǎn)作AP⊥AQ交x軸于P點(diǎn)，
則△APQ為所求作的等腰直角三角形．
理由：在△AOP與△ABQ中，
∵∠OAB-∠PAB=∠PAQ-∠PAB，
∴∠OAP=∠BAQ，
在△AOP和△ABQ中，
∴△AOP≌△ABQ（ASA），
∴AP=AQ，
∴△APQ是所求的等腰直角三角形．
∵B（4，0），
∴Q（4，1），
經(jīng)檢驗(yàn)，在雙曲線上存在一點(diǎn)Q（4，1），使得△PAQ是以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)的等腰三角形．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)解析式的確定、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定等知識(shí)及綜合應(yīng)用知識(shí)、解決問(wèn)題的能力．