Question

如圖所示，已知AB∥CD，分別探索下列四個圖形中∠P與∠A，∠C的關系，并對圖4的結論加以證明．

結論：（1）

∠APC=∠A+∠C

；
（2）

∠A+∠P+∠C=360°

；
（3）

∠APC=∠C-∠A

；
（4）

∠P=∠A-∠C

．

Answer 1

分析：（1）延長AP交CD于點F，根據兩直線平行，內錯角相等可以得到∠A=∠PFC，再根據三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和即可得到∠APC=∠A+∠C；
（2）過P作PE∥AB，根據兩直線平行，同旁內角互補可以得到∠A+∠1=180°，∠C+∠2=180°，所以∠P+∠A+∠C=360°；
（3）根據兩直線平行，內錯角相等可以得到∠4=∠C，再根據三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和即可得到∠APC=∠C-∠A；
（4）先根據AB∥CD可得出∠A=∠1，再由三角形外角的性質得出∠1=∠P+∠C，即∠P=∠1-∠C=∠A-∠C，故可得出結論．

解答：結論：（1）∠APC=∠A+∠C；
證明：延長AP交CD于點F，
∵AB∥CD，
∴∠PFC=∠A，
∵∠APC=∠PFC+∠C，
∴∠APC=∠A+∠C；

（2）∠A+∠P+∠C=360°．
證明：如圖（2），過P作PE∥AB，則PE∥CD，
∴∠A+∠1=180°，∠C+∠2=180°，
∴∠APC+∠A+∠C=∠1+∠2+∠A+∠C=360°，∠A+∠P+∠C=360°；

（3）∠P=∠C-∠A；
證明：∵AB∥CD，
∴∠3=∠C，
∵∠3=∠APC+∠A，
∴∠APC=∠C-∠A．

（4）∠P=∠A-∠C．
證明：如圖（4）所示，
∵AB∥CD，
∴∠A=∠1，
∵∠1=∠P+∠C，
∴∠P=∠1-∠C=∠A-∠C．

點評：本題考查的是平行線的性質，根據題意作出輔助線，利用平行線的性質求解是解答此題的關鍵．